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03导数及其应用
1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=().
A.1 B.2 C.3 D.4
解析?由条件知(1,f(1))在直线x-y+2=0上,且f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=3+1=4,故选D.
答案?D 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为().
A.- B.-2 C.-2或- D.2或-
解析?由题意知f'(x)=3x2+2ax+b, 则f'(1)=0,f(1)=10, 即 解得或
经检验满足题意,故=-,故选A. 答案?A
3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足≤0,则必有().
A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1)
解析?当x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1).所以f(0)>f(1),f(2)>f(1),则f(0)+f(2)>2f(1).故选A.
答案?A 4.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.
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解析?y'=-x2+a,若y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,Δ=4a>0,故a的取值范围是(0,+∞).
答案?(0,+∞)
?会应用导数的几何意义 能力1
【例1】(1)已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为().
A. B.- C.- D.
(2)曲线f(x)=x2+ln x在点(1,f(1))处的切线方程为. 解析?(1)对函数f(x)=求导,可得f'(x)=. 因为曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的斜率为1, 所以f'(1)==1,得a=,故选D. (2)因为f'(x)=2x+,
所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=2+=3. 因为f(1)=1,
所以切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0.
答案?(1)D(2)3x-y-2=0
1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.
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2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.
1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点
P的坐标为.
解析?∵函数ye=x的导函数为y'e=x,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P的坐标为(x0,y0)(x0>0),
∵函数y=的导函数为y'=-,
∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-,
由题意知k1k2=-1,即1·=-1,解得=1, 又x0>0,∴x0=1.
∵点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1,
故点P的坐标为(1,1). 答案?(1,1)
2.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.
解析?(法一)令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+,则f'(1)=2.
又f(1)=1,∴曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0),
则当x=x0时,y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-. 又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,
∴x0=-,此时a=8.
(法二)求出曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1. 由得ax2+ax+2=0,
∴Δ=a2-8a=0,∴a=8或a=0(显然不成立).
答案?8 ?会利用导数解决函数的单调性问题 能力2
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【例2】(1)函数f(x)=xln x的单调递减区间为().
A.(0,) B. C. D.
(2)若函数f(x)=ln x+ax2-2在内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是().
A.(-∞,-2] B. C. D.(-2,+∞)
解析?(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 由题意得f'(x)=2xln x+x=x(2ln x+1), 令f'(x)<0,解得0 所以函数f(x)的单调递减区间为. 故选D. (2)由题意得f'(x)=+2ax, 若f(x)在内存在单调递增区间, 则f'(x)≥0在上有解,即a≥. 又g(x)=-在上是单调递增函数,所以g(x)>g=-2,所以a>-2.故选D. 答案?(1)D(2)D 利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别. 1.已知函数f(x)=+ln x,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值范围为. 解析?∵f(x)=+ln x, 2 ∴f'(x)=(a>0). ∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,
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