高考专项复习-----抽象函数常见题型及解法 整理：吴小军
(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x?b?ab?a,0)对称 对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(22 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）
例17：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（ B ）
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
解： 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。
②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2） 练习：（2010重庆）已知函数f?x?满足：f?1??1，4f?x?f?y??f?x?y??f?x?y??x,y?R?，则4f?2010?=_____________.
解析：取x=1 y=0得
f(0)?1 法一：通过计算f(2),f(3),f(4)........，寻得周期为6 2法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故f1 2例18. 已知函数y=f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求f?1?x??f?1?2002?x?的值。
?2010?=f(0)=
解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。据原函数与其反函数的关系，知函数y=f(x) 的图象关于点（1001，0）对称,所以f?1-1
?x?1001??f?1?1001?x??0,即f?1?x??f?1?2002?x?=0
例19. 奇函数f (x)定义在R上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间［0，2T］上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（ ）C
A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个
解：∵f (0) = 0→x1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x2 = T，x3 = 2T.又因为f??x??T?T????f?x?? 2?2??令x = 0得
?T??T??T??T??3T?f????f????f??,∴f???f??=0.(本题易错选为A) ?2??2??2??2??2?例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。 求a的值。
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8
∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6
②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，
且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)(a为常数且a R)
（1）求f(x);
（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？
若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).
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∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.
由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称） 设x
[-1,0]，则2-x
[2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x
3
3
又f(x)为偶函数?f(-x)=f(x),x? [-1,1]. ∴当x? [0,1]时，f(x)=2ax-4 x
（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值. (ⅰ)当a
(2,6]时，由0
2
x 1得a-2x＞0， ≤
=12得
=
（当且仅当4 =486>
=a－2
,即x=
[0,1]
2
f(x)=2x(a-2 x)=
时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令条件的a不存在.
(ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－
)
,∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足
同理可证 f(x)= (ⅲ)当a>6时,设0
,则f(
)-f(
(当且仅当2 )=2a(
-
=1- )-4(
,即x=
-
时等号成立),也与已知矛盾. )=2(
- )[a-2(
+
+ ∴f(
)]，由题设0< )-f(
+ + ) <3,a>6 ∴a-2( + + )>0 又 - <0 )<0即f( ), ∴f(x)在[0,1]上为增函数. ∴此时 =f(1)=2a-4. 令2a-4=12,解得a=8 (6,+∞),适合题意. (6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上. 因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8 练习1、函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(x)的图象关于 x=1 对称。 2、函数y?f(x)满足f(x?3)??1)? -1 。 ，且f(3)?1，则f(2010f(x)12123、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(?x)?f(?x),则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)? 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于x法二：因 ?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?0, 小结：此方法为抽象函数具体化法 1对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法 21x联想函数f(x)?si?nxf(x)为奇函数且关于x?对称，类比f(x)?sin 2?4、已知函数y?f(2x?1)是定义在R上的奇函数，函数y?g(x)是y?f(x)的反函数，若x1?x2?0则 g(x1)?g(x2)?（ D ） A）2 B）0 C）1 D）-2 解析：法一：(函数具体化)设 f(x)?x?1符合题意，则g(x)?x?1则g(x1)?g(x2)?(x1?1)?(x2?1)?(x1?x2)?2??2， 法二：y=f(2x-1)是R上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取x1= 第 12 页 共 14 页 高考专项复习-----抽象函数常见题型及解法 整理：吴小军 f(-2x-1),x2= f(2x-1),所以g(x1)+g(x2)=-2x-1+(2x-1)=-2. 5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.5 6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)= .0 7、 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）D A.4 B.5 C.6 D.7 8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)= 2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式. 解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) -2(4-x) ② ∴由①②得f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当x9、（09山东）已知定义在R上的奇函数 [1,2]时,f(x)=-x +6x-8 f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.-8 八、综合问题 例21. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总时，0 中，令中，令 ，得,因为当 ，因为时， ，所以 。 ， 有，且当x>0 ， 所以当时,而 ，所以，综上可知，对于任意，则 ,所以，均有 。 又当x=0时，设所以 .所以在R上为减函数。 ,即有,由 ，所以直线 （2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以又 ，根据函数的单调性，有 与圆面无公共点。因此有，解得。 第 13 页 共 14 页 高考专项复习-----抽象函数常见题型及解法 整理：吴小军 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 例22.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 1(1)解不等式f(3x?x2)?4,;(2)解方程[f(x)]2?f(x?3)?f(2)?1. 2解:(1)先证f(x)>0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x>0时f(x)>1,所以f(0)=1. xxx又f(x)?f(?)?[f()]2?0,假设存在某个xo?R,使f(xo)?0,则f(x)=f[(x-xo)+xo]=f(x-xo)f(xo)=0, 222与已知矛盾，故f(x)>0,任取x1,x2∈R且x1 =f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]>0. 所以x∈R时,f(x)为增函数. 解得:{x|1 例23.定义在(?1,1)上的函数f(x)满足:(1)对任意x,y?(?1,1),都有f(x)?f(y)?f(x?y) 1?xy1111)?f(). (2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ）f()?f()???f(211193n?5n?5解:(1)易证f(x)是奇函数。 （2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 1???11??(?)???(n?2)(n?3)11n?3??f(1)?f(1) ??f?n?2又f(2)?f()?f??111(n?2)(n?3)?1?n?2n?3n?5n?5??1??1??(?)?(n?2)(n?3)??n?3?????n?2111111111)?f()???f(2)?[f()?f()]?[f()?f()]???f()?f() 111934453n?3n?5n?51111又f()?0,?f()?f()?f().命题成立 n?33n?33 ?f(第 14 页 共 14 页
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