【详解】 （1）
Q在长方体ABCD?A1B1C1D1中，DA?6，DC?2，DD1?3，E是AB的中
点.
?SBCDE?SABCD?S?ADE?6?2?1?6?1?36，
22?四棱锥A1?BCDE的体积VA?BCDE?1?AA1?SBCDE?1?3?36?32 13322 （2）
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则
A1(6,0,3)，E(6,1,0)，B1(6,2,3)，C(0,2,0)，
?A1E?(0,1,?3)，BC?(?6,0,?3)，设异面直线A1E与B1C所成角为?， 1uuuruuurA1E?B1C31?， 则cos??uuuruuur?4?92A1E?B1C1???arccos
21?异面直线A1E与B1C所成角为arccos
2【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式，解题的关键是熟记棱锥体积公式，同时也考查了用空间直角坐标系求立体几何中异面直线所成的角，此题需要一定的计算能力，属于中档题。 18．已知平行四边形ABCD中，?A?45?，AD?2，AB?2，F是BC边上的
点，且BF?2FC，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系.
uuuruuur第 9 页 共 15 页
（1）求F点的坐标； （2）求AF?EC.
【答案】（1）F(,)；（2）
uuuruuur823362. 15uuuruuur【解析】（1）根据题意写出各点坐标，利用BF?2FC求得点F的坐标。
uuur2uuurruuuruuu（2）根据BE?BD求得点E的坐标，再计算AF、EC，求出数量积。
5【详解】
建立如图所示的坐标系，
uuur则O(0,0)，B(2,0)，C(3,1)，D(1,1)，BC?(1,1)
uuur2uuuruuuruuur由BF?2FC，所以BF?BC，
3uuur设F(x,y)，则BF?(x?2,y),
所以(x?2,y)?(,)，解得x?所以F(,)
（2）根据题意可知?EBF:?EDO，所以BE?223328，y? 33uuurr2uuu22BD?(?,), 5558233uuur82uuur8273所以E(,)，从而AF?(,)，EC?(,)
533355uuuruuur872362AF?EC?????。
353515【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。
19．如图，在y正半轴上的A点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若
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AB?BO?3.
（1）求失败点组成的区域；
（2）电子狗选择x正半轴上的某一点P，若电子狗在线段AP上获胜，问点P应在何处？
【答案】（1）以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点；（2）P应在x轴正半轴上.
【解析】（1）设失败点为M(x,y)，则A(0,6)，B(0,3)，不妨设机器人速度为V，则
电子狗速度为2V，由题意得
MBMA ，代入坐标计算求解即可。 ?V2V（2）设P(x,0)，(x?0)由题意有【详解】
PBPA ，代入坐标计算求解即可。 ?V2V（1）设失败点为M(x,y)，则A(0,6)，B(0,3)，不妨设机器人速度为V，则电子狗速
度为2V，由题意得
MBMA ，即x2?(y?2)2?4，即失败点为M的轨迹为以?V2V(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。
故失败点组成的区域为：以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。
（2）设P(x,0)，(x?0)由题意有
PBPA， ?V2V则x?3?22x2?62，即x2?0， 2所以P应在x轴正半轴上点。 【点睛】
本题考查方程组法求点的轨迹方程，解决此题关键是理解题意，列出不等关系。
x2y220．已知椭圆2?2?1（a?b?0）的左右焦点为F1、F2，右顶点为A，上顶点
ab第 11 页 共 15 页
为B，且b?c.
（1）求直线AB的方向方量；
（2）若Q是椭圆上的任意一点，求?FQF12的最大值；
（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|?3，求椭圆的方程.
?x2y2【答案】（1）(?2,1)或(2,?1)；（2）；（3）??1.
242【解析】（1）根据题意可得a?c2?b2?2b，kAB?的方向方量可以为(?2,1)或(2,?1)。 （2）在?F1QF2中，设PF1?m,PF2?n,
b0?2b??2，即直线AB2m2?n2?(2c)2(m?n)2?4c2?2mn4b2cos?FQF???1?0，即可求解。 12?2mn2mn2mnx2y2（3）设椭圆方程为2?2?1，直线CD的方程为x??2y?b，利用韦达定理、
2bb弦长公式计算。 【详解】
（1）Qb?c，?a?c2?b2?2b，
?右顶点A(2b,0)，上顶点B(0,b)，则kAB?b0?2b??2， 2第 12 页 共 15 页
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