2019江苏省南京市高三三模考试数学试题和答案

2019江苏省南京市高三三模考试数学试题和答案

Sm＋1Sn

②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜．

m＋1naq(qm1－1)aq(qn－1)q－1q－1即＜．

nm＋1

aqm1－aaqn－a

因为0＜q＜1，所以＞．以下同①．

nm＋1

综上， an＞bn(n∈N*，n≤m)． ………………………………………16分

证法二：设等差数列a，a1，a2，…，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，…，bm，b的公

比为q，

b＝λa(λ＞0，λ≠1)．

λ－1

由题意，得d＝a，q＝aλm＋1，

m＋1

n

λ－1m＋1

所以an＝a＋nd＝a＋an，bn＝aλ．

m＋1

1

＋

＋

要证an＞bn(n∈N*，n≤m)，

n

λ－1m＋1

只要证1＋n－λ＞0(λ＞0，λ≠1，n∈N*，n≤m)．………………………………………12

m＋1

分

λ－1

构造函数f(x)＝1＋x－λm＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x＜m＋1)，

m＋1

x

λ－1λ－11m＋1

则f′(x)＝－λlnλ．令f′(x)＝0，解得x0＝(m＋1)logλ．

lnλm＋1m＋1

x

λ－1

以下证明0＜logλ＜1．

lnλ

λ－1

不妨设λ＞1，即证明1＜＜λ，即证明lnλ－λ＋1＜0，λlnλ－λ＋1＞0．

lnλ1

设g(λ)＝lnλ－λ＋1，h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝－1＜0，h′(λ)＝lnλ＞0，

λ所以函数g(λ)＝lnλ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h(λ)＝λlnλ－λ＋1(λ＞1)为增函数． 所以g(λ)＜g(1)＝0，h(λ)＞h(1)＝0．

λ－1λ－1

所以1＜＜λ，从而0＜logλ＜1，所以0＜x0＜m＋1．………………………………………

lnλlnλ14分

因为在(0，x0)上f′(x)＞0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；

因为在(x0，m＋1)上f′(x)＜0，函数f(x)在(x0，m＋1)上是减函数． 所以f(x)＞min{f(0)，f(m＋1)}＝0． 所以an＞bn(n∈N*，n≤m)．

同理，当0＜λ＜1时，an＞bn(n∈N*，n≤m)． ………………………………………16分

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南京市2014届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

．．．．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指．．．．

定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲

证：因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE． ………………………………………2分

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD，

所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC． ………………………………………6分 所

以

AD

BD

＝

ECCA

，

即

AD·CA

＝

BD·EC． ………………………………………8分 因为△ACD为等边三角形，所以AD＝AC＝CD， 所

以

CD2

＝

BD·EC. ………………………………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：设特征向量为α＝

? k?对应的特征值为λ， ?－1?

ak－k＝λk，?a k?? k?＝λ? k?，即?? 则??

?0 1??－1??－1?? λ＝1.

因为k≠0，所以a＝2． ………………………………………5分 1133?2 k?1－3

因为A1??＝??，所以A??＝??，即?? ??＝??，

?1??1??1??1??0 1??1??1?所以2＋k＝3，解得 k＝1．

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综上，a＝2，k＝1． ………………………………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 π

解：设M(2cosθ，23sinθ)，θ∈(0，)．

2

由题知OA＝2，OB＝23， ………………………………………2分 11

所以四边形OAMB的面积S＝×OA×23sinθ＋×OB×2cosθ

22

π

＝23sinθ＋23cosθ＝26sin(θ＋)． ………………………………………8分

4π

所以当θ＝时，四边形OAMB的面积的最大值为26． ………………………………………

410分

D．选修4—5：不等式选讲

解：由柯西不等式，得[a2＋(2b)2＋(3c)2][12＋(

8分

因为a2＋2b2＋3c2＝6，所以(a＋b＋c)2≤11， 所以－11≤a＋b＋c≤11．

611所以a＋b＋c的最大值为11，当且仅当a＝2b＝3c＝． ………………………………

1110分

22．（本小题满分10分）

证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．

因为PA＝AB＝2，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)． 112→1→→1→（1）由BN＝BD，得N(0，，0)，由PM＝PA，得M(，0，)，

33333112→→所以MN＝(－，，－)，AD＝(－1，－1，0)．

333

→→因为MN·AD＝0．所以MN⊥AD． ………………………………………4分 →→（2）因为M在PA上，可设PM＝λPA，得M(λ，0，1－λ)． →→所以BM＝(λ，－1，1－λ)，BD＝(0，－2，0)． 设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，

121

)＋()2]≥(a＋b＋c)2．……………………………23

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??n·→BD＝0，?－2y＝0，由?得?

→λx－y＋(1－λ)z＝0，???n·BM＝0，

其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分

→因为平面ABD的法向量为OP＝(0，0，1)，

→πn·OP2λ1

所以cos＝，即＝，解得λ＝， 2＋λ2422→(λ－1)|n||OP|

|

|

111

从而M(，0，)，N(0，，0)，

223所以MN＝分

23．（本小题满分10分）

3

解：（1）S＝{1,2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1,2}，所以数组T为：1，2，．

2

31＋2＋23

因此m(T)＝＝． ………………………………………3分

32（2）因为S＝{a1,a2,…, an}，n∈N*，n≥2，

11n12n1n－1n?ai＋(2Cn－1)?ai＋(3Cn－1)?ai＋…＋(nCn－1)?aii＝1i＝1i＝1i＝1

所以m(T)＝

23n

C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cn

11122(－0)2＋(0－)2＋(－0)2＝． ………………………………………102326

n

11121n－1

1＋Cn－1＋Cn－1＋…＋Cn－1n

23n＝?ai ． ………………………………………6分 23n C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cn

i＝1

(n－1)!(n－1)!1k－111n!1k

又因为Cn－1＝·＝＝·＝Cn，……………………………

kk(k－1) ! (n－k) !k ! (n－k) !n(n－k) ! k!n8分

1112131

Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cnnnnnnn1n

所以m(T)＝?ai＝n?ai．………………………………………10分 23n

C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cn

i＝1i＝1