解: 设点P在导线构成的平面上，E?、E?分别表示正、负带电导线在P点的电场强度，则有
????r0???11???? E?E??E?? （矢量和） ?i?i??2??0x?r0?x?2??0?xr0?x?
3.设均强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电
场强度通量.
??[分析] 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即?S??E?dS.
S 方法2：作半径为R的平面S?与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
?SE?dS?1?0穿入平面S??q?0 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，
的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量. 因而
???S????E?dS???E?dS
S?解: 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 ???S????E?dS???E?dS
S?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，
???E??R?cos???RE （高斯定理和电通量定义式）
4.在电荷体密度为?的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O?的矢量用a表示（图8-17).试证明球形空腔中任一点的电场强度为
22??? E?a
3?0[分析] 本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.
挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为?的均匀带电球和一个电荷体密度为??、球心在O?的带电小球体（半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P点产生的电场强度分别为E1、E2，则P点的电场强度为两者矢量和。. 证: 带电球体内部一点的电场强度为 E??r 3?0??r1；E2??r2 3?03?05
所以 E1?
???????r1?r2? E?E1?E2?3?0??????根据几何关系r1?r2?a，上式可改写为E?a （等效法和高斯定理）
3?05.一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布.圆柱体单位长度的电荷为?，用高斯定理求圆柱体内距离为r处的电场强度.
[分析] 无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向.取同轴柱面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交.在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，E?dS?0，对电场强度通量的贡献为零.整个高斯面的电场强度通量为E?dS?E?2?rL由于圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，出于高斯面内的总电
?E荷
?q????rL2由高斯定理E?dS???q?可解得电场强度的分布.
0解: 取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 E?2?rL?1?0???r2L???0R2r2L
E??r （高斯定理） 22??0R6.两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2?R2?R1?，单位长度上的电荷为?.求离轴线为r处的电场强度：（1）r?R1，（2）R1?r?R2，（3）r?R2 [分析] 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定程轴对称分布，沿径向方向.去同轴圆柱为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且E?dS?E?2?rL,求出不同半径高斯面内的电荷
??q.利用高斯定理可解得各区域电场的分布.
解: 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 E?2?rL??q?0
r?R1，
?q?0
E1?0
R1?r?R2，
?q??L
? 2??0r E2?r?R2，
?q?0
6
E3?0
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 ?E???L??? （高斯定理） 2??0r2?rL?07.如图所示，有三个点电荷 Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1?Q2?Q.求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.
[分析] 由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得
Q2??Q4.
外力作功W?应等于电场力作功W的负值，即W??W?.求电场力作功可根据功电场力作的功与电势能差的关系，有
W?Q2?V0?V???Q2V0
其中V0是点电荷Q1、Q3 在点O产生的电势（取无穷远处为零电势）.
1解: 在任一点电荷所受合力均为零时Q2??Q，并由电势的叠加Q1、Q3在O4的电势
V0?Q14??0d?Q34??0d?Q2??0d
将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功 W???Q2V0?Q28??0d （受力平衡、点电荷系电势、电场力做功）
8.已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
E????er 2??0r（2）在点电荷的电场中，?为电荷线密度. （1）在求在r?r1和r?r2两点间的电势差；
???处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明. 我们曾取r?1）解 （由于电场力作功与路径无关，若取径矢为积分路径，则有
?U12??r2r1E?dr?r?ln2 (电势差定义式) 2?r?0r1 7
（2）不能. 严格地讲，电场强度 E?? 只适用于无限长的均匀带电直线，2??0r而此时电荷分布在无限空间，r??处的电势应与直线上的电势相等.
9.两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2.求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？
[分析] 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由VP???P???E?dl??E?dr可求得电势分布.
r 解: 由高斯定理可求得电场分布
E1?0 r?R1 E2?Q14??0r2 R1?r?R2
E3?由电势 V?Q1?Q2 r?R2 24??0r??rE?dr可求得区域的电势分布.当 r?R1时，有
V1??R1rE1?dr??E2?dr??E3?dr
R1R2R2? ?0?Q1?11?Q1?Q2? ?????4??0?R1R2?4??0R2?Q24??0R2R2 ?Q14??0R1
?当R1?r?R2时，有V2? ??rE2?dr??E3?dr
R2Q1?11?Q1?Q2? ?????4??0?r1R2?4??0R2Q14??0r?Q24??0R2
?当r?R1 时，有V3???rE3?dr?Q1?11??? ???4??0?R1R2?8
相关推荐：
loading