（先用高斯定理求场强E,再用分段积分求电势V)
10.两个很长的共轴圆柱面R1?3.0?102m,R2?0.10m，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V.求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度. 解 由8的结果，两圆柱面之间的电场 E?根据电势差的定义有
?U12???? 2??0r?R2R1E?dr??Rln2 2??0R1解得
??2??0U12lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 E??1?3.74?102V 2??0rr两柱面间电场强度的大小与r成反比. (电势差定义式)
11.在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷密度为?.A点的坐标为?0，R2?，B点的坐标为?3R2?,求电势差UAB.
[分析] 电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在Oxy平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在改点的电势的一半.据此，可先求出一个完整球面在A、B间的电势差U?AB，再求出半球面时的电势差UAB.由于带电球面内等电势，球面内A点的电势，故
11?VR??VB?? 其中VR?是带电球表面的电势，VB?是带电球面在B点的电势. UAB?U?AB?22 解 假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度?的一个完整球面，此时在A、B两点的电势分别为
?? VAQ4??0R??R? ?VR?0 9
?R22?R?? VB ??4??0r?0r3?0Q则半球面在A、B两点的电势差 ?UAB??
12.在半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为?r.设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为?.试求介质层内的D、E和P.
[分析] 将长直导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面.在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布.
取同轴柱面为高斯面，由介中的高斯定理可得电位移矢量D的分布.在介质中
1?VR??VB????R（点电荷电势式和电势差定义式） 26?0?????D??0?rE，P?D??0E，可进一步求得电场强度E和电极化强度矢量P的分布.
解 由介质中的高斯定理，有
?? ?D?dS?D?2?rL??L
得 D?在均匀各向同性介质中 E?? 2?rD??0?r?
2??0?rr?????2?rer ?????1 P?D??0E??1???r?
（有电介质时的高斯定理）
13.设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径分别为R1?10cm与R3?20cm，并分别带有电荷?4.0?10C与1.0?10C.球壳间有两层介质，内层介质的（1）?r1?4.0,外层介质的?r2?2.0，其分界面的半径为R2?15cm.球壳B外为空气.求：两球间的电势差UAB；（2）离球心30cm的电场强度；（3）2球A的电势.
[分析] 自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布.取同心球面为高斯面，
根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布.
由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势
?8?7 10
VA???AE?dl
解 （1）由介质中的高斯定理，有
?D?dS?D?4?rD12?Q1
得 D1?D2? E1?Q1er 4?r22?0?r1r2D2?er R1?r?R Q14??0?r2r2 E2??0?r2er R2?r?R3
两球壳间的电势差 UAB? ? ??R3R1E?dl
R3R2?R2R1E1?dl??E2?dl
?11?Q1?11????????4????RR?? 4??0?r1?RR2?0r2?23??1Q12 ??6.0?10V （2）同理由高斯定理可得 E3?Q1?Q23?1 e?6.0?10eV?mr2r4??0r （3）取无穷远处电势为零，则 VA?UAB???BE3dl?UAB?Q1?Q2?2.1?103V
4??0R3（先由电介质中高斯定理求D分布，再求E分布，再分段积分求V分布）
14. 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感应强度各为多少？
[分析] 应用磁场叠加原理求解.将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度B0?B1?B2?B3. 解 （a) 长直电流对点O而言，它在延长线上点O产生的磁场为零，则点O处总的磁感强度为14圆弧电流所激发，故有: B0??????0I8R，方向垂直纸面向外?.
（b) 将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得
11
.B0?
?0I2R??0I ， 方向垂直纸面向里 ? 2?R （c) 将载流导线看作12圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得 B0??0I?0I?0I?0I?0I????，方向垂直纸面向外. ? (矢量和) 4?R4?R4R2?R4R
15.载流长直导线的电流为I，试求通过矩形线圈ABCD的磁通量.
[分析] 由于矩形平面上各点的磁感应强度不同，故磁通量??BS.为此，可在矩形平面上取一矩形面元dS?ldx?图11?10?b??，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 d??B?dS?矩形平面的总磁通量
??d? 解 由上述分析可得矩形平面的总磁通量 ???0Ildx 2?x??d2d1?0I?Ildldx?0ln2 （积分法四步走） 2?x2?d116.有同轴电缆，其尺寸如图所示.两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑.试计算以下各处的磁感应强度：（1）r?R1;（2）R1?r?R2；（3）R2?r?R3；（4）r?R3.画出B?r图线.
[分析] 同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r的同心圆为积分路
????径，?B?dl?B?2?r，利用安培环路定理?B?dl??0?I，可解得各区域的磁感强度.
解 由上述分析得
r?R1 B1?2?r??0I?r2 2?R1 B1??0Ir 22?R1R1?r?R2 B2?2?r??0I
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