2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题21数列中的转化与化归
考点命题分析
数列是高中数学的重要组成部分，同时也是高考重点考查的内容之一.纵观全国各地的高考试卷，数列相关的解答题大都出现在压轴题或倒数第二题的位置，承载着体现考试的区分度、选拔优秀学生的功能.从题目的综合性看，数列问题常与函数、方程、不等式等知识交汇.对近几年各地高考试卷数列解答题的研究发现，数列问题的综合性有从显性的知识点之间的交汇向隐性的方法、技能、思想融合的趋势.特别是当仅仅运用数列本身的知识解决问题比较困难时，我们可以考虑将题目的难点转化化归为其他问题来解决，运用化归和等价转化思想来帮助我们化繁为简、化难为易.
1两种基本数列之间的转化
等差数列和等比数列是两种最为基本的数列，它们的各种性质之间有着很强的类比性，所以它们之间存在相互转化的可能.等差数列的计算是线性的，等比数列的计算是指数性，所以当等比数列的运算很繁杂时，可以考虑将等比数列转化为等差数列来运算. 例1若公比不为1的正项等比数列{an}满足的前n项和Sn为
.
，数列{bn}满足bn=
，则{bn}
2存在性问题向函数零点问题的转化与化归
因为数列是一种特殊的函数，所以它的很多问题可以通过函数的性质加以解决，诸如单调性、最值等等.近几年的高考题中呈现出一种新的考查趋势:在等差数列、等比数列的存在性问题中，利用基本量构建高次方程和函数来解决问题. 例2设(I)证明:
是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
依次成等比数列；
依次构成等比数列?并说明理由.
(Ⅱ)是否存在a1，d，使得3恒成立问题向最值问题转化
数列中的恒成立问题有多种类型，如果是关于等式的问题，可以转化为方程组或恒等方程来解决.如果是关于不等式问题，往往可以转化为最值问题来解决. 例3已知数列{an}与{bn}满足
，n∈N*.设，求的取值范围，使
得对任意，且.
4发散数列向常规数列的转化
在数列中证明有些不等式时，涉及的数列是发散的，其前n项和不能用求和公式表示出来.此时一般可以根据题干或者上一问的提示，利用放缩法使其放大或缩小为一个能求和的常规数列来解决.在有些问题中构建何种数列并没有明确的提示，这时我们可以紧扣结论，先构造不等式然后放缩数列来解决问题 例4数列{an}满足:(I)求a3的值；
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn (Ⅲ)令
，
，求证:数列{bn}的前n项和Sn满足
.
.
最新模拟题强化
111，，…，的前n项和为 1?21?2?31?2???n2n2nn?2A． B． C．
2n?1n?1n?11．数列1，
D．
n 2n?12222．已知正项数列?an?中，a1?1,a2?2,2an?an?1?an?1?n?2?,则a6?（ ）
A．16
B．4 C．22 D．45
3．在数列{an}中，对任意n?N*，都有
an?2?an?1?k（k为常数），则称{an}为“等差比数列”. 下面对“等
an?1?an差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通
n项公式为an?a·b?c(a?0,b?0,1)的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权. 他们的编号分别为1,2,3,L, k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：aij???1,第i号同学同意第j号同学当选（其
0,第i号同学不同意第j号同学当选?中i?1,2,L,k且j?1,2,L,k）则同时同意第1,2号同学当选的人数为（ ） A．a11?a12?a13?L?a1k?a21?a22?a23?L?a2k
B．a11?a21?a31?L?ak1?a12?a22?a32?L?ak2 C．a11?a12?a21?a22?a31?a32?L?ak1?ak2 D．a11?a21?a12?a22?a13?a23?L?a1k?a2k
2x?1(x?0)5．已知函数f(x)?{，把方程f(x)?x?0的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则
f(x?1)?1(x?0)该数列的通项公式为 （ ） A．an?n(n?1)(n?N?) 2?B．an?n(n?1)(n?N) n?D．an?2?2(n?N)
?C．an?n?1(n?N)
6．已知数列{an}的通项公式为an?1(n?N*)，其前n项和为Sn，则在数列
(n?1)n?nn?1S1、S2、LS2014中，有理数项的项数为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
7．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为
1111111111(n?2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如??，??，??，…，n1222363412则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）
A．
1 1260B．
1 840C．
1 504D．
1 3608．已知数列 ?an? 满足：a1?1，an?1?an?1?n?N*，若 bn?1??n?????1?,b1???，且数列
an?2?an????bn? 是单调递增数列，则实数 ? 的取值范围是（ ）
A．?2,??? C．?3,??? 9．定义
为个正数
B．???,2? D．???,3? 的“均倒数”．若已知数列
的前项的“均倒数”为
，又
，则=( )
A． B． C． D．
10．已知数列?an?满足a1?a?0,an?1??an?tann?N2?*?，若存在实数t，使?a?单调递增，则a的取
n值范围是（ ） A．?0,1? 11．已知数列____．
212．设数列?an?的通项公式为an?n?bn，若数列?an?是单调递增数列,则实数b的取值范围为
B．?1,2? 的首项
，且满足
C．?2,3? D．?3,4? ，则
__
．
13．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC?DB?1AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中4的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列?Sn?的四个命题： ①数列?Sn?是等比数列；
②数列?Sn?是递增数列；
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n ，都有Sn?2018 ； ④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn?2018． 其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
14．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为an?________
15．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的
99n，若这堆货物总价是100?200()万元，则n的值为________
101016．如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点?0,1?，接着它按图所示在x轴、y轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点______.
n?1n?2n?217．在数列?an?中，a1?1，3an?3an?1?2?3?2(n?2)，Sn是数列??an?1??的前n项和，当不
?n?(3m?1)(Sn?m)*?1(m?N)恒成立时，mn的所有可能取值为 . 等式m3(Sn?1?m)*18．已知数列?an?满足a1?a2?a3?...?an?2n?an(n?N)， bn?2?n?an?2?,则数列?bn?中最2大项的值是__________．
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