k2.(每小题7分，共28分)(1)(1962，美国第23届普特南数学竞赛试题)求和式?k2Cn＝
i?123nC1n＋2Cn＋3Cn＋?＋nCn之值.
2
2
2
n(2)（1996，美国数学邀请赛）对每个实数x，[x]表示不超过x的最大整数，使得n＜1000，且[log2n]是正偶数的正整数n共有______ 个.
(3)（1998，湖南高中数学竞赛题）8次射击，命中三次，其中恰有2次连续命中的情形共有（ ）种
A.15 B.30 C.48 D.60
(4)（1999，全国高中数学竞赛）在一次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一次，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间的比赛场数是（ ）
A.O B.1 C.2 D.3
参考答案
A卷
一、1.D 点拨：排除法.
m?12.B 点拨：应用组合数性质：Cm＝Cmn?1. n＋Cn22313.B 点拨：说法可分为三类，1男3女有C12男2女有C5C5种，3男1女有C35C5种方法，5C522331种，共有C15C5＋C5C5＋C5C5＝200种.
2124.D 点拨：依次为每所学校各选一名医生和两名护士，分配方法有C13C6C2C4＝540
种.
5.A 点拨：先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两
32个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有A6A2＝40个三位数.
16.A 点拨：设男队员x＋2人，由题意可列式C1xC18?x?2＝64.解得x＝8，故男队员是10
人.
2127.C 点拨：C24C7＋C4C7＝210.
8.B 点拨：先将4个球中选出2个，有C24种选法，然后将三“堆”球装入三个盒子，有
23A33种方法，故共有C4A3种方法.
9.B 点拨：将1，2，3，?，11按奇、偶数分为两类：{1，3，5，7，11，9}和{2，4，6，8，10}，要使取出的5个数的和为偶数，则其中取出的奇数可以是0个，2个，4个，故球
23415的编号数之和为偶数的取法数为C06C5＋C6C5＋C6C5＝226.
10.B 点拨：可按公差分别为d＝1，2，?，9分九类考虑.
二、11.C59 点拨：将10个三好生名额摆成一列，有九个空隙，从9个空隙中选5个，填上“|”，这样，便把10个名额分成6份，6个班每班一份，所以，共有C59种不同的分配方案. 12.8 点拨：穷举法：A、B、C三台机床依次有如下选派方法：丁丙甲，丁丙乙，丁甲乙，丁乙甲，丙甲乙，丙乙甲，甲丙乙，乙丙甲，共8种.
13.18 点拨：可分两类情形：（1）2个儿童分乘A、B两船，有A22种方法，因为儿童须
2由大人陪同，故从3个成人中选2人分别乘A、B两船，有A3种方法，余下1个成人必须乘C船；2（2）2个儿童乘A船.从3个成人中选1人乘A船有C13种方法，两个成人分乘B、C两船，有A2种212方法，所以，共有A22A3＋C3A2＝18种乘这些船的方法.
14.16 点拨：依题意，先把三个未抽到的区域排成一排（与顺序无关），以下分两种情况：（1）抽到的三个区域各不相邻，这须从已摆成一排的三个区域的四个空隙中选取三个，有C34种选法，把要治理的三个区域摆上去；（2）从4个空隙中选择两个，分别摆上相
32邻要治理的两个区域和另一个区域，有A24种方法.所以，共有C4＋A4＝16种选取方案.
三、15.（1）解法一：从结果角度考虑，排好的节目有9个位置，先排入三个添加节目，有A39种方法，余下的六个位置上按节目单原来的顺序排入，只有一种方法，故所求排法为A39＝504种.
3解法二：添加三个节目有三类办法：①三个节目连排，有C17A3种方法；②三个节目互1112不相邻，有A37种方法；③三个节目有且仅有两个节目相邻，有C3C7C6A2种方法，所以共
331112有C17A3＋A7＋C3C7C6A2＝504种.
（2）解：从二楼到三楼，第十级楼梯必须要走，因此，依题意，只须从1～9这九级楼
72梯中选7级来走，因此，共有C9＝C9＝36种不同的走法.
2116.解：第一类从3名会唱歌的人与2名会跳舞的人中选，有C3C2＝6种；第二类把全会1的人当成歌手去参加选法有C1第三类把全会的人当成会跳舞的人去参赛，选法有3C2＝6种，2C3＝
3种，所以，共有6＋6＋3＝15种不同的选法.
17.解：f(x)＝ ＝
(x?2)(x?1)x(x?1)(x?2)(x?3)43!Cx?1
(x?2)(x?1)x(x?1)(x?2)(x?3)?4!
3!(x?1)x(x?1)(x?2) ＝4(x＋2)(x－3)＝4(x－由于?B卷
12
)－25. 2?x?3, ∴x≥4.∴当x＝4时，f(x)取最小值，此时f(x)＝24.
?x?2?6.4一、1.解：如答图10－3－1，由题意可分为三类：第一类用四种不同的颜色，有A5种24方法；第二类用三种颜色，有2A35种方法，第三类用两种颜色，有A5种方法.所以共有A5＋22A35＋ A5＝260种.
另解：①与④、②与③可以涂同色颜料，也可以不同色，所以，也可以分步去解，先涂
2①、②两个区域有A5个涂法，当①②涂好后，设使用的是A上两个颜色，还有C、D、E三种
颜色供使用.第二步去涂③与④，若③涂B，则④可涂A、C、D、E，有4种方法，若③涂C、D、E种的某一种色，④可涂A和C、D、E中③用去一色后余下的两种颜色，所以③、④有3×3＝9
2种方法，由分步计数原理可知，共有13×A5＝260种不同的涂色方法.
2.解：(1)先从9本书中任取2本书作一组，再从余下的7本书中任取3本书作一组，最后
234余下的4本书作一组，所以共有C9C7C4＝1260种方法.
33(2)若套用(1)的解法有C39C6C3种方法，是不正确的，由于这时每组书的本数相等，所
以先取的3本书与第二次取到或留在最后是相同的分法，因为将同样分法的三组书交换取书
333的顺序有A33＝6种，即在C9C6C3种分法中重复计算了6次，因此平均分组有
33C9C6＝280种3!分法.
(3)本小题等价于将9本不同的书平均分给甲、乙、丙三个人，先由甲任取3本，有C39种
33取法，再由乙从余下的6本书中任取3本有C36种取法，最后3本给丙，所以共有C9C6＝1680
种分法.
另解：先平均分成三组有280种方法，再将各组写上甲、乙、丙的组各有A33＝6种写法，所以共有280×6＝1680种分法.
(4)先从9本书中取出1本，有C19种取法，再将剩下的8本书分成二组有
4C8＝35种分法，2!所以共有9×35＝315种分法.
6
二、3.解：每个焊接点都有脱落和不脱落的两种可能情形，故6个焊接点共有2种可能
6
情形，而其中全不脱落不合题意，所以共有2－1＝63种脱落的可能.
三、4.解：可依次为586，486，386型电脑选操作人员，从甲、乙二人中选一人操作586，有2种方法，再给486电脑选操作人员，不论甲还是乙去操作586，486操作人员都还有2种选法，最后给386选操作人员仍有2种选法，所以共有2×2×2＝8种选法.
5.解：从结果上考虑，先把9只点亮的灯先摆成一排，有一种方法，从当中8个空隙中选
26定6个把要关掉的6只灯摆上去，便是符合设计要求的点灯方式，故共有C8＝C8＝28种.
三、4.解：可依次为586，486，386型电脑选操作人员，从甲、乙二人中选一人操作586，有2种方法，再给486电脑选操作人员，不论甲还是乙去操作586，486操作人员都还3 2种方法，最后给386选操作人员仍有2种选法，所以共有2×2×2＝8种选法.
5.解：从结果上考虑，先把9只点亮的灯先摆成一排，有一种方法，从当中8个空隙中选
26定6个把要关掉的6只灯摆上去，便是符合设计要求的点灯方式，故共有C8＝C8＝28种.
四、(一)6.解：从0至9这十个数中取3个不同的偶数有C35种取法，从这十个数中取出一
2个偶数和两个不同的奇数的取法有C1而这其中取出的3个数和为小于10的偶数有如下5C5种，
9种：(0，1，3)，(0，1，5)，(0，2，4)，(1，2，3)，(1，2，5)，(1，3，4)，(0，1，7)，
12(0，2，6)，(0，3，5)，所以合乎条件的取法有C35＋C5C5－9＝51种.
（二）7.解法一：因为A、B各有12个元素，A∩B有4个元素，因此A∪B的元素个数是12
3＋8＝20个，于是满足条件（1）的集合C的个数是C3其中还满足C∩A＝○的C的个数是C8.20，3因此，合乎题设的集合C的个数是C320C8＝1084个.
解法二：属于B而不属于A的元素个数是12－4＝8个，因此，在A∪B中只含A中1个元素的
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