等比数列的性质导学案

等比数列第二课时 等比数列性质（导学案）

制作单位：沙市五中

目标定位：1.结合等差数列的性质，了解等比数列性质的由来。 2.理解等比数列的性质并能应用。（重点） 3.掌握等比数列的性质并能综合应用。（难点）

作者：杨春亮

1

(2012·广东高考)(1)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1a23a5＝________. 2(2)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．

1112(1) 等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a23＝a1a5＝a2a4＝，所以a1a3a5＝. 224 1 4

等比数列性质的应用 (2) ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64. 又∵a3＋a7＝20，

∴a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根． ∵t1＝4，t2＝16，

∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4. ①当a3＝4，a7＝16时，

a7＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64. a3

②当a3＝16，a7＝4时，

1?2a71

＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×??4?＝1. a34

等比数列常用性质

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则am·an＝ap·aq.

特例：若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝a2p. an－

(2)＝qnm(m，n∈N*)． am

(3)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．

1

(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ为不等于0的常数){}仍然成等比数列．

an

1．(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝ ________.

(2)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．

?a1q＝2，?

解析：(1)法一：设{an}的公比为q，则?5

?aq＝12，?1

解得q4＝6，

∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72. 法二：∵{an}是等比数列， ∴a2a10， 6＝a2·

a21221446

于是a10＝＝＝＝72.

a222(2)由于{an}是等比数列，

∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，

13

∴a1a2a3…a13＝(a7)6·a7＝a7，

2

而a7＝－2.

∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213. 答案：(1)72 (2)－213

法一：设三个数依次为a，aq，aq2，

?aq·aq2＝27，?a·

由题意知?222 24

?a＋aq＋aq＝91，?

灵活设元求解等比数列 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．

3

???aq?＝27，∴?2 24

?a?1＋q＋q?＝91.?

??aq＝3，q29即?2解得＝， 24241＋q＋q91?a?1＋q＋q?＝91.?

1

得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝，

91

∴q＝±3或q＝±，

3

若q＝3，则a1＝1；若q＝－3，则a1＝－1； 11

若q＝，则a1＝9；若q＝－，则a1＝－9.

33

故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. a

法二：设这三个数分别为，a，aq.

q

??a

?q＋a＋aq＝91

222

22

a·a·aq＝27，q

a＝3，????21 2

a?＋1＋q?＝91，2??q

得9q4－82q2＋9＝0， 1

即得q2＝或q2＝9.

91

∴q＝±或q＝±3.

3

故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.

三个数或四个数成等比数列的设元技巧：

a

(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq；

q

aa

(2)若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设3，，

qqaq，aq3.

2．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )

1

A．－4或17

2C．4

1

B．4或17 21D．17

2

a2

解析：选B 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.

2

a2a2

由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.

22∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5. a2

当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.

2a21

当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝17.

22

等比数列的实际应用 某工厂2011年1月的生产总值为a万元，计划从2011年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2012年8月底该厂的生产总值为多少万元？

设从2011年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%， ∴

an＋1

＝1＋m%. an

∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n1.

－

∴2012年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)201＝a(1＋m%)19(万元)．

－

数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．

3．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．

解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．

答案：45

1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )

A．公比为q的等比数列 C．公比为q3的等比数列

B．公比为q2的等比数列 D．不一定是等比数列