线性代数B第一章习题解答

?x1?2x2?3x3?1??2x1?2x2?x3?1． ?3x?4x?3x?123?1解 方程组的系数行列式

1D?2322431?2， 3由克莱姆法则知，此方程组有惟一解，经计算

12D1?1214所以 x1?

33113313132121?2， 411?4，D2?211??4，D3?2D1D?42?2，x2?D2D??42??2,x3?D3D?22?1．

13. 求经过A(1,1,2),B(3,?2,0),C(0,5,?5)三点的平面方程． 解 设平面方程为 ax?by?cz?d?0，

由于点A(1,1,2),B(3,?2,0),C(0,5,?5)在平面上，故点的坐标满足方程.即

a?b?2c?d?0,

3a?2b?d?0 5b?5c?d?0

设(x,y,z)是平面上任一点,则有齐次方程组

?ax?by?cz?d?0?a?b?2c?d?0?, ??3a?2b?d?0??5b?5c?d?0因为a,b,c,d不全为零,即方程组有非零解,则系数行列式

x130y1?25z20111?0,

?51整理得 29x?16y?5z?55?0. 所求平面方程为 29x?16y?5z?55?0.

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14. 证明：存在惟一的二次多项式f(x)，使得f(1)?1,f(?1)?9,f(2)?3． 证明 设f(x)?ax?bx?c

由已知f(1)?1,f(?1)?9,f(2)?3,有

2?a?b?c?1??a?b?c?9 ?4a?2b?c?3?此方程组有惟一解a?2,b??4,c?3,所以存在惟一的二次多项式 f(x)?2x?4x?3.

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