2018年上海市高三数学一轮复习：立体几何练习题2

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∴在△AEC中，FG∥AE，FG＝2AE＝1， ∵AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF 1

在Rt△BEC中，BF＝2CE＝CF＝2， 1

∴S△BCF＝2×2×2＝1，

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∴VC－BGF＝VG－BCF＝3·S△BCF·FG＝3. 15．已知P在矩形ABCD的边DC上，AB＝2，BC＝1，F在AB上且DF⊥AP，垂足为E，将△ADP沿AP折起，使点D位于D′位置，连接D′B、D′C得四棱锥D′－ABCP.

(1)求证：D′F⊥AP；

(2)若PD＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱锥D′－ABCP的体积． [解析] (1)∵AP⊥D′E，AP⊥EF，D′E∩EF＝E， ∴AP⊥平面D′EF，∴AP⊥D′F.

(2)∵PD＝1，∴四边形ADPF是边长为1的正方形， 2∴D′E＝DE＝EF＝2，

∵平面D′AP⊥平面ABCP，D′E⊥AP， ∴D′E⊥平面ABCP，

13

∵S梯形ABCP＝2×(1＋2)×1＝2， 12

∴VD′－ABCP＝3×D′E×S梯形ABCP＝4. (理)如图(1)，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如(2)．

(1)求四棱锥D－ABCE的体积；

(2)求证：AD⊥平面BDE.

[解析] (1)取AE的中点O，由题意知，

AB＝2AD＝2a，ED＝EC， ∴AD＝DE，∴DO⊥AE， 又∵平面ADE⊥平面ABCE， ∴DO⊥平面ABCE.

2

在等腰Rt△ADE中，AD＝DE＝a，DO＝2a， 13

又S梯形ABCE＝2(a＋2a)a＝2a2，

11322

∴VD－ABCE＝3S梯形ABCE·DO＝3·a2·a＝224a3. (2)连结BE，则BE＝a2＋a2＝2a，又AE＝2a，AB＝2a，

∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB， 由(1)知，DO⊥平面ABCE， ∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O ∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD， 又∵AD⊥DE，∴AD⊥平面BDE.