（1）当a??2,b??15时，解方程f(2x)?0； 2（2）当b?0时，若不等式f(x)?2x在x?[0,2]上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若a为常数，且函数f(x)在区间[0,2]上存在零点，求实数b的取值范围．
扬州市2016—2017学年度第一学期期末调研测试试题
高 一 数 学 参 考 答 案 2017．1
3
1．3 2．2 3．3 4．1 5．(,2) 6． 1 7．27
28． a?c?b 9．y?sin(3x?13．1 14．(1,2]{3,4}
15．解：（1）由0?log3x?2，得1?x?9 ∴B?{x|1?x?9}，
∴AB?(1,9)， ............4分 CUA?(??,2)[7,??)，(CUA)B?(1,2)[7,9)； ............8分
1522π1 11．[,??) 12． ) 10．4234（2）AC?? ∴a?1?2或a?7，解得：a?1或a?7． ............14分
116．解：（1）a?(sin(???),1)?(?sin?,1)，b?(cos?,?)
21a//b ∴cos??sin??0， 化简得：tan??2（不求也可以）， ...........4分
2∴
sin??3cos?tan??3??5 ...........7分
sin??cos?tan??111?1，则sin?cos?? ............1148（2）|a?b|?1 ∴(?sin??cos?)2?分
?(sin??cos?)2?1?2sin?cos??5 45 ............14分 2?为第一象限角 ?sin??0,cos??0，则sin??cos??17．解：（1）对乙产品投入资金x万元，则对甲产品投入资金（150?x）万元；
11所以y?P?Q?(150?x)?65?76?4x??x?4x?191， ............5分
33?25?150?x?150，解得：25?x?125，∴其定义域为[25,125]； ............7分 ?25?x?150?[,5]（2）令t?x，则t?51t?[5,55] ，则原函数化为关于t的函数：h(t)??t2?4t?191，
3 .............10分 所以当t?6，即x?36时，ymax?h(t)max?h(6)?203（万元）
答：当对甲产品投入资金114万元，对乙产品投入资金36万元时，所得总利润最大，最大利润
为
203万
元． .............14分
18．解：（1）y?3sin(x?)．
44????2?2k???4x??4??2?2k?,k?Z，解得：?3?8k?x?1?8k,k?Z
∴函数的单调增区间为[?3?8k,1?8k](k?Z)； .............4分
?4x??4?k?,k?Z ?x??1?4k,k?Z ∴函数的对称中心为
(?1?4k,0)(k?Z).............8分
（2）①由图知：点B是函数图象的最高点，设B(x0,3)，函数最小正周期为T，则
A(x0?T3TT,0),C(x0?,0) ?AB?(,4443BC),?3T ) ............10分 (?,，34
AB?BC ?AB?BC?322??T?3?0，解得：T?4 ????． ............12分 1642 , 1]②
??2???5?x?[0,2] ?x??[,] ?sin(x??)?[2422444∴函数在[0,2]上的最大值为3， ............14分 此时
?2x??4??2?2k?,k?Z，则x?1?4k,k?Z； 2x?[0,2] ?x?1 ............16分 219．解：（1）函数f(x)定义域为R， .............1分
e?x?11?ex对于任意的x?R，都有f(?x)??x???f(x)，
e?11?ex所以函数f(x)为奇函数． .............4分 （2）在R上任取x1,x2，且x1?x2， ex1?1ex2?12(ex1?ex2)f(x1)?f(x2)?x1??
e?1ex2?1(ex1?1)(ex2?1)x1?x2 ?0?ex1?ex2?ex1?ex2?0,ex1?1?0,ex2?1?0
?f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2) ?f(x)为R上的增函数 .............7分
133m2?m?1?(m?)2??2443?f(m2?m?1)?f()4
3333?f(m2?m?1)?f(?)?f(m2?m?1)?f()?f()?f()?0. ............10分
4444（3）
f(x)为R上的增函数且函数f(x)在定义域[a,b]上的值域[kea,keb]
?f(a)?keaex?1∴k?0且? ?x?kex在R上有两个不等实根； .............12分 be?1?f(b)?ke令t?ex,t?(0,??)且单调增，问题即为方程kt2?(k?1)t?1?0在(0,??)上有两个不等实根，
?(k?1)2?4k?0?k?1?2?0，解得：0?k?3?22 ． .............16分 设h(t)?kt?(k?1)t?1，则??k???h(0)?1?020．解：（1）当a??2,b??15时，f(x)?|x2?2x|?15，所以方程即为：|2x(2x?2)|?15?0 2解得：2x?3或2x??5（舍），所以x?log23； .............3分 （2）当b?0时，若不等式x|a?x|?2x在x?[0,2]上恒成立；
当x?0时，不等式恒成立，则a?R； .............5分 当0?x?2时，则|a?x|?2在(0,2]上恒成立，即?2?x?a?2在(0,2]上恒成立， ?2?a?2因为y?x?a在(0,2]上单调增，ymax?2?a，ymin??a，则?，解得：0?a?2；
??a??2则实数a的取值范围为[0,2]； .............8分 （3）函数f(x)在[0,2]上存在零点，即方程x|a?x|??2b在[0,2]上有解； ?x2?ax(x?a)设h(x)??2
?x?ax(x?a)?当a?0时，则h(x)?x2?ax,x?[0,2]，且h(x)在[0,2]上单调增，所以h(x)min?h(0)?0，h(x)max?h(2)?4?2a，则当0??2b?4?2a时，原方程有解，则a?2?b?0；............10分 ?x2?ax(x?a)aa当a?0时，h(x)??2，h(x)在[0,]上单调增，在[,a]上单调减，在[a,??)22??x?ax(x?a)上单调增； ① 当
a?2，即a?4时，h(x)max?h(2)?2a?4,h(x)min?h(0)?0，则当0??2b?2a?4时，2原方程有解，则2?a?b?0；
aa2a2a② 当?2?a，即2?a?4时，h(x)max?h()?,h(x)min?h(0)?0，则当0??2b?时，
2442a2原方程有解，则??b?0；
8③ 当0?a?2时，h(x)maxaa2?max{h(),h(2)}?max{,4?2a},h(x)min?h(0)?0，
24a2a2a2当时，原方程有解，?4?2a，即则?4?42?a?2时，h(x)max?，则当0??2b?444a2则??b?0；
8a2当?4?2a，即则0?a??4?42时，h(x)max?4?2a，则当0??2b?4?2a时，原方程4
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