（1）求C1与C2的极坐标方程；
（2）若C1与C3的一个公共点为A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求OA?取值范围.
23．[选修4-5：不等式选讲](10分) （1）已知a,b,c?R?,且a?b?c?1,证明
111???9； abc111??. abc3的OB（2）已知a,b,c?R?,且abc?1,证明a?b?c?
银川一中2019届高三第二次模拟
数学(理科)参考答案
一、选择题：(每小题5分，共60分) 题号 答案 二、填空题：(每小题5分，共20分)
13. 40 14.5 15. 2n?1 16. 三、解答题：
17：解：（1）? an?1?an?2，a1?4
1 D 2 C 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D 9 C 10 B 11 C 12 D 9? 21311?an?1?3?(an?3)，故?an?3?是首项为1，公比为的等比数列，
33（2）由（1）知
?1?1-??n?101n?1??1?n?3?1?故T=3n+?1??1??1?=3n+?3?=3n+?1-??? an?3???（????????????）n2?1?3???3??3??3??3???1-318. 解：
n
19.解：如图，取PD 中点E，连接EN,AE.
(1) 证明：
M,N,E为中点，
P 1?ENAM, EN=AM= AB,
2?AMNE是平行四边形，MNAE
又
CD?AD,CD?PA
y E D N C x A M B ?CD?面PAD, ?面P CD?面PAD
PA=AD,E为中点，AE?面P CD
?MN?面PCD,
（2）建立如图所示坐标系，设PA=AD=2，AB=2t,则A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
M(t,0,0),N(t,1,1). 由（1）知MN?面PCD,
?PB?(2t,0,?2),MN?(0,1,1)
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为10, 10
?由
PB?MNPBMN?10得t=2. 10设m?(x,y,z),m?平面NMD，则
DM?(2,?2,0),MN?(0,1,1)
??DM?m?0由?得m?(1,1,?1),m?3, ??MN?m?0AP?面CMD, AP?(0,0,2),设二面角N-MD-C为?，?为锐角则
cos??APmAPm6.3?3,3
?sin??20.解（1）解:M点的轨迹是以(22,0),(-22,0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为
x2 ?y2?1
9?2?解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AD=?由1
DB得y1=??y2
x2y?22k由y=kx-22k得x=代入?y2?1整理(1+9k2)y2+42ky-k29k显然
的判别式?>0恒成立
由根与系数的关系得y1+y2=?42k1?9k2
k2y1y2=?......④
1?9k2由
得y1?42?k42k， 代入④ 整理得 y??222(1??)(1?9k)(1??)(1?9k)1?9k2?32?32?(1??)2??1?2
?设f(?)=??1??2,则利用导数可以证明f(?)在（1,2）上为增函数故得0< f(?)<
1 2
所以1?9k2>64即k的取值范围是k>7或k
21解：（1）：由题意可知函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?当x?(0,1)时：f?(x)?0，所以f(x)单调递增； 当x?(1,??)时：f?(x)?0，所以f(x)单调递减；
（2）：由题意得：g?(x)?lnx?1?ax?0有两个不同的零点，即
?lnx， 2xlnx?1?a有两个不同的根设为xx1?x2；
由(1)得f(x)?lnx?1，当x?(0,1)时f(x)单调递增；当x?(1,??)时f(x)单调递减； x有f()?0，f(1)?1当x?(1,??)时f(x)?0，所以a?(0,1)时有0?x1?1?x2使
1elnx1?1lnx2?1?a，?a且函数g(x)在(0，x1),(x2，??)单调递减，在(x1,x2)单调递增， x1x2现只需比较g(x1)，g(x2)的正负进而确定零点个数。
12aa?lnx1?112aa?lnx2?1g(x)?xlnx?ax?g(x)?xlnx?ax2?且有且； 1111222xx22222111lnt?1lnt(t2?1）令：h(t)?tlnt?t?则h?(t)??0
222t2t2所以函数h(t)在(0,??)上单调增，所以0?x1?1时g(x1)?h(x1)?h(1)?0
x2?1时g(x2)?h(x2)?h(1)?0
又x?0时g(x)?a?0，x???时g(x)???，所以函数有三个零点。 22222.解：（1）曲线C1的方程为(x?1)?y?1，C1的极坐标方程为??2cos?
C2的方程为x?y?3，其极坐标方程为??3
cos??sin??2???????，??CC（2）3是一条过原点且斜率为正值的直线，3的极坐标方程为?0，?
联立C1与C3的极坐标方程????2cos?，得??2cos?，即OA?2cos?
????3?33???cos??sin?，得??联立C1与C2的极坐标方程?，即OB?
cos??sin?cos??sin??????
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