阶段性综合检测(一)
集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用
一、填空题
1．若集合A＝{x||x＋1|＝x＋1}，B＝{x|x2＋x＜0}，则A∩B＝___________ 解析：因为A＝{x|x≥－1}，B＝{x|－1＜x＜0}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜0}． 答案：(－1,0)
2．满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是_____________
解析：由题意得{a1，a2}?M?{a1，a2，a4}， 所以M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}． 答案：2
1
3．(2014·山东青岛质检)设集合P＝{x|x2－x－2≥0}，Q＝{y|y＝2x2－1，x∈P}，则P∩Q＝___________
11
解析：P＝{x|x≥2或x≤－1}，又x∈P时，y＝2x2－1∈[－2，＋∞)，故Q＝1
{y|y≥－2}，故P∩Q＝{m|m≥2}．
答案：{m|m≥2}
1
4．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则f(－1)＝______________
解析：f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2
5．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的___________条件
解析：f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)1
内无实根，即a＝0或a＜0，也就是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.
答案：充分必要条件
6．(2014·安徽江南十校素质测试)有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题． 其中真命题为______________
解析：①中逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，为真命题． ②中否命题为“若两三角形面积不相等，则两三角形不全等”，为真命题． ③中x2－2x＋m＝0有实数解?Δ＝4－4m≥0?m≤1，故原命题正确，其逆否命题为真命题．
④若A∩B＝B，则B?A，为假命题，故其逆否命题为假命题． 答案：①②③
7．(2014·长沙模考(一))已知命题p：?x∈R，使sinx－cosx＝3，命题q：集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}有2个子集，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(?q)”是假命题；③命题“(?p)∨(?q)”是真命题，正确的个数是__________
π
解析：sinx－cosx＝2sin(x－)∈[－2，2]，而3?[－2，2]，故命题p
4是假命题；集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}＝{1}，故其子集有?与{1}两个，故命题q是真命题，所以命题“p∧q”是假命题，命题“p∧(綈q)”是假命题，命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题，②③正确．
答案：2
1
8．(2014·北京石景山期末)设函数f(x)＝3x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)
1
在区间(e，1)内________（填写：“有”或“无”）零点，在区间(1，e)内_______（填写：“有”或“无”）零点
1
在区间(e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 1111
解析：∵f(e)·f(1)＝(3e－ln e)×(3－ln 1) 11
＝3(3e＋1)＞0，
1
∴f(x)在(e，1)内无零点．
11
又∵f(1)·f(e)＝(3×1－ln 1)×(3e－ln e) e－3
＝9＜0，
∴f(x)在(1，e)内有零点．
1
答案：在区间(e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
9．(2014·广东珠海摸底)已知函数f(x＋1)是偶函数，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－1f(x1)]·(x2－x1)＞0恒成立，设a＝f(－2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为____________
解析：本题主要考查抽象函数的性质．由函数f(x＋1)为偶函数知f(x)的对称轴为x＝1.
当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＞0得到f(x)在(1，＋∞)上是递增的， 155
所以f(－2)＝f(2)，所以f(2)＜f(2)＜f(3)．即b＜a＜c. 答案：b＜a＜c
10．(2014·北京朝阳期末)若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＋f(x)＞0恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是__________
A．af(a)＞bf(b) C．af(a)＜bf(b)
B．af(b)＞bf(a) D．af(b)＜bf(a)
解析：由题意设F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，则F′(x)＞0，∴F(x)为单调增函数，
又a＞b，∴F(a)＞F(b)． ∴af(a)＞bf(b)． 答案：A
11．(2014·潮州二模)幂函数y＝[f(x)]g(x)(f(x)＞0，f(x)≠1)在求导时可运用对数y′法：在函数解析式两边求对数得ln y＝g(x)·lnf(x)，两边同时求导得y＝g′(x)lnf(x)
＋g(x)
f′?x?f′?x?
，于是y′＝[f(x)]g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)·]，运用此方法可以探求得f?x?f?x?
知y＝xx的单调递增区间为____________
x′解析：由题意得y′＝x[x′ln x＋xx] x
＝xx(ln x＋1)＞0，
1
∴x＞e，又x＞0，且x≠1，
1
∴y＝xx的单调递增区间为(e，1)∪(1，＋∞)． 1
答案：(e，1)∪(1，＋∞)
12．(2014·韶关调研)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 解析：∵f′(x)＝ex＋xex＋2，∴f′(0)＝3，
∴函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1. 答案：y＝3x＋1
13．(2014·宁波期末)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋3)＋f(x)＝2，又当x∈[－3,0]时，f(x)＝
1
，则f(5)＝________. x＋1
2解析：由f(x＋3)＝2－f(x)得，
f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝2－f(x＋3)＝2－(2－f(x))＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为6， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝1答案：2 14．(2014·汉中一模)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋f?x1?－f?x2?6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有＞0，给出下列
x1－x2命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；
11＝2. 1＋1
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