④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上) 解析：由已知f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3得f(3)＝f(－3)＋f(3)，则f(－3)＝0，又函数为偶函数，故f(－3)＝f(3)＝0，故①正确．据此可得f(x＋6)＝f(x)，即函数以6为周期，由条件还可知函数在[0,3]上递增，据此可作出满足题意的函数图象如图：
观察图象可知函数在[－9，－6]上递减，即③错，②④均正确，故应填①②④. 答案：①②④
三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(2014·湘潭二模)(本小题满分12分)
已知集合A＝{x|2＜x＜3}，集合B＝{x|kx2＋2x＋6k＞0}． (1)若A＝B，求实数k的值；
(2)若B∩R＝R，求实数k的取值范围． 解：(1)∵B＝A＝{x|2＜x＜3}，
∴kx2＋2x＋6k＝0有两个实数根2,3，且k＜0，
??2＋3＝－2
k.∴?6k
?2×3＝?k，k＜0，
2
∴k＝－5. (2)∵B∩R＝R，∴B＝R， ?k＞0，6∴?解得k＞， 26?Δ＝4－24k＜0，6∴k的取值范围是{k|k＞6}．
16．(2014·德阳联考)(本小题满分12分)
1
设命题p：函数f(x)＝lg(ax－x＋16a)的定义域为R；命题q：不等式2x＋1＜
2
1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
11
解：命题p为真命题?函数f(x)＝lg(ax2－x＋16a)的定义域为R?ax2－x＋16a＞0对任意实数x均成立．
当a＝0时，－x＞0，解集不为R，故a≠0， a＞0??
所以?12
1－a＜0??4
?a＞2.故命题p为真命题?a＞2.
命题q为真命题?2x＋1－1＜ax对一切正实数x均成立?a＞2x
x?2x＋1＋1?
＝
2
对一切正实数x均成立，
2x＋1＋1
2x＋1－1
＝x
由于x＞0，所以2x＋1＞1，所以2x＋1＋1＞2， 所以
2
＜1，所以命题q为真命题?a≥1.
2x＋1＋1
根据题意知，命题p与q有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时，a不存在；当命题p为假命题且命题q为真命题时，a的取值范围是[1,2]．
综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时，实数a的取值范围是[1,2]． 17．(2014·菏泽联考)(本小题满分10分) 1
已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－a(a∈R)．
3(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；
(2)求证：当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．
解：(1)当a＝－3时，f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3.分区14
间讨论函数的单调性知f(x)的极大值为3，极小值为－6.
(2)求导得f′(x)＝x2－2x＋a，由a≥1，得Δ＝4－4a≤0，易知原命题成立．
18．(2014·滨州质检)(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；
31(2)函数y＝f(x)的图象在x＝4处的切线的斜率为2，若函数g(x)＝3x3＋x2[f′(x)m
＋2]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝
a?1－x?
x(x＞0)，
当a＞0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，单调减区间为(1，＋∞)； 当a＜0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1]； 当a＝0时，f(x)不是单调函数．
3a31m
(2)由f′(4)＝－4＝2得a＝－2，则f(x)＝－2lnx＋2x－3，∴g(x)＝3x3＋(2＋2)x2－2x，
∴g′(x)＝x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g′(0)＝－2， m＜－3，???g′?1?＜0，
∴?∴?19
m＞－?g′?3?＞0，?3，?
19
∴m∈(－3，－3)．
19．(2014·绵阳诊断)(本小题满分12分)
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件：①f(0)＝－1；②对任意x∈R，均有f(x－4)＝f(2－x)；③函数f(x)的图象与函数g(x)＝x－1的图象相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当且仅当x∈[4，m](m>4)时，f(x－t)≤g(x)恒成立，试求t、m的值． 解：(1)由①得c＝－1.
b
由②知，－2a＝－1，即b＝2a， ∴f(x)＝ax2＋2ax－1.
由③知，方程ax2＋2ax－1＝x－1，
即ax2＋(2a－1)x＝0有两个相等的实根， 11
∴a＝2，∴b＝1，故f(x)＝2x2＋x－1.
1
(2)∵当且仅当x∈[4，m](m＞4)时，f(x－t)≤g(x)恒成立，∴不等式2(x－t)2＋x－t－1≤x－1，
即x2－2tx＋t2－2t≤0的解集为[4，m]的子集， ?4＋m＝2t，?t＝8?t＝2，∴?解得?或? 2
?4m＝t－2t，?m＝12?m＝0.∵m＞4，∴t＝8，m＝12符合题意． 20．(2014·绥化一模)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2－alnx在区间(1,2]内是增函数，g(x)＝x－ax在区间(0,1)内是减函数．
(1)求f(x)、g(x)的表达式；
(2)求证：当x＞0时，方程f(x)－g(x)＝x2－2x＋3有唯一解；
1
(3)当b＞－1时，若f(x)≥2bx－x2在x∈(0,1]内恒成立，求b的取值范围． a
解：(1)f′(x)＝2x－x，依题意f′(x)≥0，x∈(1,2]，即a≤2x2，x∈(1,2]． ∵上式恒成立，∴a≤2. 又g′(x)＝1－
a2x
①
，依题意g′(x)≤0，x∈(0,1)，
即a≥2x，x∈(0,1)． ∵上式恒成立，∴a≥2.
②
由①②得a＝2，∴f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－2x. (2)由(1)可知，方程f(x)－g(x)＝x2－2x＋3， 即x＋2x－2lnx－3＝0.
设h(x)＝x＋2x－2lnx－3，则h′(x)＝1＋
12－. xx
令h′(x)＞0，并由x＞0，得x＋x－2＞0，解得x＞1； 令h′(x)＜0，并由x＞0，解得0＜x＜1. 列表分析：
x h′(x) h(x) (0,1) － 递减 1 0 极小值0 (1，＋∞) ＋ 递增 知h(x)在x＝1处取得最小值0， 当x＞0且x≠1时，h(x)＞0， ∴h(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个解，
即当x＞0时，方程f(x)－g(x)＝x2－2x＋3有唯一解． 112
(3)由题意知f(x)≥2bx－x2，即x－2lnx－2bx＋x2≥0， 1
设φ(x)＝x2－2lnx－2bx＋x2， 11
则φ′(x)＝2[(x－x)－(b＋x3)]． ∵x∈(0,1]，b＞－1，∴φ′(x)＜0， ∴φ(x)在(0,1]上为减函数， ∴φ(x)min＝φ(1)＝2－2b≥0.
又b＞－1，∴－1＜b≤1，∴b的取值范围为(－1,1]．
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