西安交通大学互联网教育2013年专升本《高等数学》入学测试复习题

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87. 0.3 .

88. 0.28 .

89. 2 , 4 .

90. 8 , 1.6

三、求解下列各题

limsinx?xsinx?x?x(1?cosx)x?0x(1?cosx)?e)91． 原式?lim(1?

x?0xsinx?x1由于 lim??

x?0x(1?coxs)3sinx1?c1oxs?1因此 lim()?e3

x?0x92．解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为k1?y?|x?4

xsinx?xsinx?x1313由于y??(x)??x2 ，于是k1?x22232?3．从而所求切线方程为

x?4 y?8?3(x?4) 即 3x?y?4?011所求法线的斜率为k2????，于是法线方程为

k131y?8??(x?4) 即 x?3y?28?0

3d(xlnx)??1?C 93．解：?1?lnx2dx??2xlnx(xlnx)(xlnx)94．解

? 2 0x3?1dx??x3?1dx??x3?1dx

0 1 1 2??(1?x3)dx??(x3?1)dx

0 1 1 244 ?(x?x)?(x?x)?3?2?3?31

4424041 b21（?x2）] 95．解：?xedx?lim?xedx?lim[??e?xd 0b??? 0b???2 02b1lim1 ?b20??（e?e）? ??1lim（e?x）02b???22b????f??0 得驻点为(?1,?1)，(0,0)，(1,1)．

96．解 fx??4x3?2x?2y fy??4y3?2y?2x令 ?x?

?fy?0????2，fyy???12x2?2，fxy???12y2?2 又 fxx ???x2 b?x212第 1 3 页 共16页

（1）对驻点(?1,?1)，有B2?AC??96?0，A?10?0， 故f(x,y)在(?1,?1)处取得极小值f(?1,?1)??2．

（2）对驻点(1,1)，有B2?AC??96?0，A?10?0， 故f(x,y)在(1,1)处取得极小值f(1,1)??2．

（3）对驻点(0,0)，B2?AC?0，这时需要应用极值的定义来判断，设0???1，

f(?,?)?2?2(?2?2)?0，f(?,??)?2?4?0，而f(0,0)?0，因此f(x,y)在(0,0)处无极值．

97．解 此题形式上已是二次积分，但由于对y是积不出的函数，所以要改变积分次序，即

? 1 1 0dx? xsiny2dy?? 1siny2dy?y 0 0dx

?? 12 0ysinydy

??1112cosy20?2(1?cos1)

98．解 此题在直角坐标下积分是很困难的，由直角坐标与极坐标的转换关系得

22xdy?2 2?ln(1?r2)dr

x2???ln(1?x?y)dy2?1??rln(1?r)drd??r?1? 0d?? 1 0r ??? 12 0ln(1?r)d(1+r2)

??(1+r2)ln(1+r2)1??? 10 0d(1+r2)??(2ln2?1)

99．解：设过点(x0,y0)的切线与直线4x?y?4?0平行，则

y11(?x0,y0)??x2??(x0,y0)x2??4， 0 得 x10??2. 而点(?12,?2)也在直线4x+y- 4 = 0 上，

故只有点(12,2)符合题意. 即点(1

2,2)为所求.

100.解：由y?x?ex，则y??1?ex.

由y??0得1?ex?0，即x?0. 故函数在(??,0]是单调递增的.

由y??0得1?ex?0，即x?0. 故函数在[0,??)是单调递减的.

101．解：曲线y?lnx与y?(e?1)?x的交点为(e,1)， ?围成的平面图形

的

面积1S??1(?e?1?y1y0eydx)dy??0(e?1?y?e)dy?[(e?1)y?12y2?ey]?3

02102．解：

?z?x?fu?ux?fv?vx?2fu?fv?ycosx 为

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?z2?2?fuu?(?1)?fuv?sinx???fvu?(?1)?fvv?sinx?ycosx?fv?cosx

?x?y ??2fuu?sinx?fuv?ycosx?fuv?ysinxcosx?fvv?cosx?fv 2fuu?(sinx?ycoxsuf) ??v?y103..解：

A与B相互独立

sixncx?ovsvf?c?ovf x ?P （AB）=（A）（B）PP 又

P（A+B）=（A）+（B）-（AB）=（A）+（B）-（A）P（B）PPPPPP ?0.6=0.+P（B）-4 故 P（B）=.

P（B）0.4

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104解：已知曲线所围成图形草图如右所示：

曲线的交点为O(0,0),A(1,1),B(1,4)

所求面积： y x=1 y=4x S??(4x?x2)dx01

1?2x2|01?x3|0 1 B y?x2 315?2??33 0 1 x

四、证明题

105．证明易知函数y?5x?4x?2在区间[0,1]上连续。

4?7? 0同时f(0)??2?0 f(1)则由闭区间上连续函数的介质性定理可知，f(x)在(0,1)至少存在一个零点。 也即存在x?(0,1)，使得f(x)?5x?4x?2?0 也即方程5x?4x?2?0在0到1间至少存在一个实根。 106．证 设F(x)?44?x0f(t)dt，

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F(?x)??所以

?x0f(t)dtu??t?x0f(?u)(?du)??f(u)du?F(x)

0x?x0f(t)dt为偶函数