2019-2020年高三数学导数概念与运算复习人教版

2019-2020年高三数学导数概念与运算复习人教版 教学目标:理解导数的有关概念及其几何意义，掌握导数的运算法则.会求函数在某点处切线的斜率.

教学重点:导数的概念及其几何意义 教学难点:导数的几何意义 一、知识梳理:

1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比

（也叫函数的平均变化率）有极限(即无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

理解:①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。

②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0.

③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率.

④是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果

在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为

y?f(x0)?f/(x0)(x?x0)。

⑤导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 ⑥若极限不存在，则称函数在点处不可导。

⑦若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，

若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。

2.如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即

＝＝lim?yf(x??x)?f(x) ?lim?x?0?x?x?0?x理解:①如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。

②导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值.即＝.

③求导函数时,只需将求导数式中的换成就可,即＝ 3.利用导数定义求函数的导数的一般步骤是： ①求函数的改变量。 ②求平均变化率。 ③取极限，得导数＝。

(x)?nx4.①两个常用函数的导数：(c)?0　,②导数的运算法则：如果函数有导数，那么

/n/n?1(n?N*);

[f(x)?g(x)]/?f(x)?g(x)[　c?f(x)]/?c?f?(x)

5. 切线的斜率

一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割

线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.

二、基础回顾

1.若函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy）， 则等于 ………………………（ ）

2

A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx 2.若函数，则＝ 0 , .12 3.若,,则的值为 .1,-1

4. 已知曲线在处的切线的倾斜角为,则 . 三、典例剖析

1.求与直线平行且与曲线相切的直线方程. 解: 设,,,又,

,∴切点为（1,1）,∴切线为,. 2.设函数，求．

(2x?a?2?x)n?(2x?a)n解:f?(x)?lim

?x?0?x12?lim[Cn(2x?a)n?1?2?Cn4?x(2x?a)n?2??x?0nn?Cn2(?x)n?1]

3.（xx年高考重庆卷文科）

已知曲线，求过点P（2，4）的切线方程.

解:∵ P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时, , ∴过点P（2，4）的切线方程为; 当切点不是P（2，4）时,设切点为, 则,又(), ∴,即, 又,∴,

P(2,4)即,,

T(?1,1),,又

∴∴切点为,∴过点P（2，4）的切线方程为. 综合得过点P（2，4）的切线方程为或.

4.若直线是曲线的一条切线，求实数a的值.

2

解：设切点为P（x0，y0），则 ,又,∴3x0=3.∴x0=±1. ∵切点既在切线上又在曲线上, ∴,. （1）当时，∴,, ∴a=－3 （2）当时，∴,∴a=1

综上可知，实数a的值为－3或1. 四、巩固练习

1.(xx年天津高考)设，曲线在点处切

处的倾斜角的取值范围为 , 则P到曲线对称轴距离的取值范围为…（ ） A． B． C． D．

32

2.（xx年全国3）曲线y=x－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为……………（ ） A.y=3x－4 B.y=－3x+2 C.y=－4x+3 D.y=4x－5

3

3.（xx年重庆15）已知曲线y=x+，则过点P（2，4）的切线方程是______.

2

4.（xx年湖南13）过点P（－1，2）且与曲线y=3x－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.

五、夯实基础

1.函数f（x）=（x+1）（x－x+1）的导数是…………………………………………（ ） 2

A.x－x+1 B.（x+1）（2x－1）

2 2

C.3xD.3x+1

2.已知点P在曲线上移动，设点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围（ ） A. B. C. D.

3.若曲线在点P处的切线平行于直线,则点P的坐标为（ ） A、（1,3） B、（-1,3） C、（1,0） D、（-1,0） 4.已知是曲线的一条过原点的切线,则的值为 .1或 解:当切点为（0,0）时,,又,;

2当切点为时,k切?y?x?x?3x0?6x0?a,又,,

02

又切点在切线和曲线上,,即,消去a得

,而此时,,代入得.

321332y?x?3x?x y?x?3x?x4

32

5.函数f（x）=ax+3x+2，若（－1）=4，则a的值等于________.

2

6.曲线y=2x+1在P（－1，3）处的切线方程是________________.

23

7.已知曲线y=x－1与y=3－x在x=x0处的切线互相垂直，求x0. 解:,,又,∴,∴.

3

8.点P在曲线y=x－x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.

2

解：∵tan=3x－1，∴tan∈［－1，+∞）. 当tan∈［0，+∞）时，∈［0，）； 当tan∈［－1，0］时，∈［，π］. ∴∈［0，］∪［，π］

2

9.曲线y=－x+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求： （1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；

（2）在曲线上是否存在点C，使过点C的切线与AB所在直线平行? 若存在,求出C点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）kAB==－2，∴y=－2（x－4）.∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.

2

（2）=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－3+3×4=3. ∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0.

2

10.确定抛物线方程y=x+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切. 解：由题意知,切点为（2,4）,,

又,∴4+b=2，∴b=－2,又切点为（2,4）在抛物线上, ∴，即c=4.

11.曲线y=x+3x+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.

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解：曲线上任意一点处的斜率为=3x+6x+6=3（x+1）+3，

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∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）+3×（－1）+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.

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12.曲线y=x+1上过点P的切线与曲线y=－2x－1相切，求点P的坐标.

2

解：(方法一)设P（x0，y0），由题意知曲线y=x+1在P点的切线斜率为k=2x0，

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切线方程为y=2x0x+1－x0，而此直线与曲线y=－2x－1相切，

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∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x+2x0x+2－x0=0的判别式 Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0. 解得x0=±，y0=. ∴P点的坐标为（，）或（－，）

(方法二)设,分别为切线与曲线和的切点.

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??y?x2?1?11222?y2??2x2?1?x?2x?21222?2x1?x?2x2?2?则?k切?2x1,?1,消去得 ?2x1??4x2,??x1?x2x1?x2?x??2x?k??4x?122?切?y1?y2k??切x1?x2?,,∴P点的坐标为（，）或（－，）.