江苏专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和教师用书文

当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋?＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋?＋(3n－7) ?n－2?[2＋?3n－7?]3211＝5＋＝n－n＋10.

222当n＝2时，满足此式，当n＝1时，不满足此式. 4，n＝1，??

综上，Sn＝?3211

n－n＋10，n≥2.?2?2

13.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝an＋n－4(n∈N). (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明 当n＝1时，有2a1＝a1＋1－4， 即a1－2a1－3＝0， 解得a1＝3(a1＝－1舍去). 当n≥2时，有2Sn－1＝an－1＋n－5， 又2Sn＝an＋n－4，

两式相减得2an＝an－an－1＋1，

即an－2an＋1＝an－1，也即(an－1)＝an－1， 因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1. 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1. 而a1＝3，

所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，

因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)知a1＝3，d＝1，

所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2， 即an＝n＋2.

14.(2016·苏北四市摸底)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.

(1)若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若a4＝－1，求数列{an}的通项公式.

13

*

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2*

解 (1) 当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列. 设数列{an}的公差为d，

?a1＝2，?则???2a1＋6d＝－4，

2

a1＝2，??

解得?4

d＝－.?3?

所以Sn＝na1＋＝2n＋

n?n－1?d

4228×(－)＝－n＋n.

333

n?n－1?

2

(2)由题意得2a4＝a3＋a5＋k， 即－2＝－4＋k，所以k＝2. 当n＝1时，2a2＝a1＋a3＋2， 当n＝2时，2a3＝a2＋a4＋2，

所以a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6＝－1，所以a2＝3,

由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列，所以an＋1－an＝－2n＋3. 当n≥2时，有an－an－1＝－2(n－1)＋3， 于是an－1－an－2＝－2(n－2)＋3，

an－2－an－3＝－2(n－3)＋3，

?

a3－a2＝－2×2＋3， a2－a1＝－2×1＋3，

叠加得，an－a1＝－2[1＋2＋?＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)， 所以an＝－2×2

n?n－1?

2

＋3(n－1)＋2

＝－n＋4n－1(n≥2).

又当n＝1时，a1＝2也适合上式.

所以数列{an}的通项公式为an＝－n＋4n－1，n∈N.

2

*

14