第7讲 对数与对数函数

第7讲 对数与对数函数

考纲解读： （1）理解对数与对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点． （2）知道对数函数是一类重要的函数模型．

（3）了解指数函数y?ax与对数函数y?logax(a?0,且a?1)互为反函数．

学习目标：

1. 学生能写出对数函数的定义，能画出对数函数的图像并能根据图像说出对数函数的性质. 2. 知道对数函数是一类重要的函数模型．

3. 能说出指数函数和对数函数互为反函数及图像间的对称关系.

学习重点：能画出对数函数的图像并能根据图像说出对数函数的性质. 学习难点：利用对数函数性质解决一些综合题. 知识梳理： 一、对数

1、定义： 如果ab?N(a?0,a?1),那么b叫做以a为底N的对数,记

b?logaN(a?0,a?1)

即有：a?N?b?logaN(a?0,a?1)

2、性质：①零与负数没有对数 ②loga1?0 ③logaa?1；

bblogaNloga?b(a?0,a?1) a?N3、恒等式：；a4、运算法则：

(1)logaMN?logaM?logaN

M(2)loga?logaM?logaN

N(3)logaMn?nlogaM 其中a>0,a≠0,M>0,N>0

5、换底公式：logaN?logmN(N?0,a?0且a?1,m?0且m?1)

logma二、对数函数

1．对数函数的概念

形如 的函数叫做对数函数. 说明：（1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1；

②底数为大于0且不等于1的正数； ③自变量x为真数.

特别应注意的是：真数 大于0、底数 大于0且不等于1。

2、由对数的定义容易知道对数函数y?logax(a?0,a?1)是指数函数

y?ax(a?0,a?1)的反函数。

反函数及其性质

①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。

②若函数y?f(x)上有一点(a,b)，则（b，a）必在其反函数图象上，反之若(b,a)在反函数图象上，则（a，b）必在原函数图象上。

③利用反函数的性质，由指数函数y?ax(a?0,a?1)的定义域x?R，值域y?0，容易得到对数函数y?logax(a?0,a?1)的定义域为x?0，值域为R.

3、．对数函数的图象和性质 名称 一般形式 定义域 值域 过定点 图像 对数函数 y=logax (a>0 , a≠1) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) （1，0） 单调性 值分布情况 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 00? y<0? （1）01时y <0；当00。 （2）a>1时，当x>1时y >0；当0

①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数a?1为增；0?a?1为减）比较；

②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较；

③如果两对数的底数不同而真数相同，如y?loga1x与y?loga2x的比较（a1?0,a1?1,a2?0,a2?1）.可借助对数函数图像来做.

三、例题讲解

题型一、对数式的化简与运算 例1、计算下列格式

（1）2(lg2)?lg2?lg5?(lg2)?lg2?1

（2）设函数f(x)?logax(a?0,a?1)，若f(x1?x2?...?x2010)?1005，

222求f(x1)?f(x2)?????f(x2010)的值。

222解：（1）原式=lg2(2lg2?lg5)?(lg2?1)?lg2(lg2?lg5)?(1?lg2)?1

222（2）代入f(x)?logax(a?0,a?1)，即得f(x1)?f(x2)?????f(x2009)=2010。

题型二、指数与对数的互化

例2、已知x,y,z为正数，满足3?4?6 求：（1）求使2x=py的p的值，（2）求证：

xyz111?? （3）比较3x、4y、6z的大小 2yzx（1）设3x?4y?6z?k(k?1)则x?log3k,y?log4k,z?log6k， 由2x=py得2log3k?plog4k?p?2log3k?2log34

log4k（2）

1111111 ????logk6?logk3?logk2?logk4??zxlog6klog3k22log4k2y（3）

?k?1?lgk?03x?4y??3x?4y?6z

题型三、图像问题

lgklgk(lg64?lg81)?04y?6z?(lg36?lg64)?0lg3lg4lg2lg6例3、如图是对数函数y?logax的图象，已知a值取

4313,,,，则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是（ ） 3510431413A．3、、、 B．3、、、

35103105431413C．、3、、 D．、3、、

35103105

例4、已知a?0，且a?1，函数y?ax与y?loga(?x)的图象只能是图中的（ ）

例5、已知f?1(x)图像过(3,2)点，那么f(x-3)+2的图像一定过点 . 题型四、比较大小 例6、log43,log34,log433的大小顺序为（ ） 433 B．log34?log43?log4 443A．log34?log43?log43C．log34?log4334?log43 D．log4?log34?log43 433ab,logb,logba,logab的大小. ba例7、若a2?b?a?1，试比较loga

题型五、解不等式 已知loga1?1，那么a的取值范围是 2 .

题型六、函数的定义域、值域问题

（1）求函数y=log2(x2?x?2)的定义域、值域

（3）求函数y=log2(x?2x?3)的定义域、值域

题型七、单调性、奇偶性问题

（1）求函数y=log2(x?x?2)的单调区间

22

（3）已知y?log2?x?(a?1)?(x?1)在[2,??)上单调递增，求a的取值范围.

（4）已知函数y?log22?x2?x

①判断函数的奇偶性并证明； ②该函数是否具有单调性，若有证明之.