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第2课时 等差数列的性质
常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．学习目标
能根据等差数列的定义推出等差数列的
1.
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知识点一 等差数列通项公式的变形及推广 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， an－am
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
n－m
其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. y2－y1
③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．
x2－x1知识点二 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 {c＋an} {c·an} {an＋an＋k} {pan＋qbn}
结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) ruize
1．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．( √ ) 2．等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( × )
3．若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．( √ ) 4．若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．( × )
题型一 an＝am＋(n－m)d的应用
例1 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式． 解 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝ .
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★答案★ 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， b10－b312－?－2?则d＝＝＝2，
710－3∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8. ∴b8＝2×8－8＝8.
b8－b3b10－b3
方法二 由＝＝d，
8－310－3b10－b3
得b8＝×5＋b3
10－3＝2×5＋(－2)＝8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 解 方法一 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15， 所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二 设等差数列的公差为d， 则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15， 即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得 (5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9，②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*； 或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N*. 引申探究
1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?
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解 设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d， ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， ar＝a1＋(r－1)d， as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d， aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d， ∵m＋n＋p＝q＋r＋s， ∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝ . ★答案★ 20
解析 ∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7， ∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7， 即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值． 解 方法一 ∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d， (a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列． ∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7) ＝2×33－39＝27.
方法二 ∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d) ＝3a1＋9d＝39， ∴a1＋3d＝13，①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d) ＝3a1＋12d＝33. ∴a1＋4d＝11，②
??d＝－2，联立①②解得?
?a＝19.?1
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
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