2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则
曲
线
y?f(x)的拐点的个数为
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由f??(x)的图形可得，曲线y?f(x)存在两个拐点.故选（C）.
(2)设y?e2x?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程
y???ay??by?cex1213的一个特解，则
( )
(A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1
【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知，e2x、?ex为二阶常系数齐次微分方程y???ay??by?0的解，所以2,1为特征方程r2?ar?b?0的根，从而a??(1?2)??3，b?1?2?2，从而原方程变为y???3y??2y?cex，再将特解y?xex代入得c??1.故选（A）
?1213 (3) 若级数
??an?1n条件收敛，则 x?3与x?3依次为幂级数
?na(x?1)nn?1n的 ( )
(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
??【解析】因为?an条件收敛，即x?2为幂级数?an(x?1)n的条件收敛点，所以
n?1n?1?a(x?1)nn?1?n的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛
区间，故?nan(x?1)n的收敛区间还是(0,2)。因而x?3与x?3依次为幂级数
n?1??na(x?1)nn?1?n的收敛点，发散点.故选（B）。
(4) 设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?3x围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则( )
?1sin2?12sin2?D??f?x,y?dxdy?
(A) ??3d??4f?rcos?,rsin??rdr
?(B)??3d??41sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr
?4(C) ??3d??1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
?(D) ??3d??41sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
【答案】（B）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形，
?1sin2?12sin2?所以??f(x,y)dxdy???3d??Df(rcos?,rsin?)rdr，故选（B）
4?1??111??，b??d?，若集合12a (5) 设矩阵A?????1,2?，则线性方程组?????14a2??d2?????Ax?b有无穷多解的充分必要条件为
( )
(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d?? 【答案】D
?111【解析】(A,b)???12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，
由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2。故选（D） (6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?Py 下的标准形为
222y12?y2?y3 ，其中P??e1,e2,e3? ，若Q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,x2,x3?在
正( )
交变换
x?Qy下的标准形为
22?y3(A) 2y12?y2
22?y3(B) 2y12?y2
22?y3(C) 2y12?y2
22?y3(D) 2y12?y2
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