考研数学一真题及答案解析

??k1?1?k1?3,k1?0

(21) (本题满分11 分)

?02?3??1?20?????13?3B=0b0设矩阵A??相似于矩阵????. ?1?2a??031?????(I)

求a,b的值；

（II）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角矩阵.. 【解析】(I) A~B，可得a+3=b+2

0A?B??1123?2?3a1?20b300

1?3?0?a?b??1?a?4 ?????2a?b?3?b?5(II)

?02?3??100???12?3???????A???13?3???010????12?3??E?C

?1?23??001??1?23?????????12?3???1?????C???12?3????1??1?23?

?1?23??1?????C的特征值?1??2?0,?3?4

??0时(0E?C)x?0的基础解系为?1?(2,1,0)T;?2?(?3,0,1)T ??5时(4E?C)x?0的基础解系为?3?(?1,?1,1)T A的特征值?A?1??C:1,1,5

?2?3?1??10?1令P?(?1,?2,?3)????， ?011????1????P?1AP??1?

?5????x??2ln2,x?0,(22) (本题满分11 分) 设随机变量X的概率密度为f?x???

x?0.??0,对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数。

(I)求Y的概率分布； (II)求EY

【解析】(I)记p为观测值大于3的概率，则p?P(X?3)??2?xln2dx?，

31n?2从而Y的概率分布为：P{Y?n}?Cnp?(n?1)()2()n?2，n?2,3,L ?1p(1?p)??181878(II)：

127???2E(Y)=∑?????(??=??)=∑???(???1)?()?()

88??=2??=2∞∞17???2∑???(???1)?()= 648??=2∞令：

∞S(x)=∑???(???1)??????2 ?1

??=2∞∞???2S(x)=∑???(???1)?????=2=(∑??)

??=2??′′??2′′=()1???=(?1???+

11???)

′′2= (1???)3所以：E(Y)=

164?S(7?8)=16

(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：

?1,??x?1,? f(x,?)??1???0,其他.?其中θ为未知参数，x1,x2,L,xn为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量.

(II)求θ的最大似然估计量.

??111??【解析】(I)E(X)??xf(x;?)dx??x?， dx????1??2

1??$?2X?1,令E(X)?X，即?X，解得?21nX??Xi为?的矩估计量；

ni?1 (II) 似然函数L(?)??f(xi;?)，

i?1n当??xi?1时，L(?)??i?1n11n?()，则lnL(?)??nln(1??). 1??1??从而

dlnL(?)n?，关于?单调增加， d?1??$?min{X,X,L,X}为?的最大似然估计量。 所以?12n