2．1 等式性质与不等式性质
考点 不等关系的表示 数(式)大小比较 不等式的性质 问题导学 预习教材P37－P42，并思考以下问题： 1．如何比较两个实数的大小？ 2．等式的基本性质有哪些？ 3．不等式的基本性质有哪些？
1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a (2)符号表示 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a 符号“?”叫做等价号，读作“等价于”，“p?q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 2．常用的不等式的基本性质 性质1 a>b?b 性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c； 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac 对不等式性质的五点说明 学习目标 会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 会运用作差法比较两个数或式的大小 掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题 核心素养 数学建模 逻辑推理 逻辑推理 (1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识． (2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”． (3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( ) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( ) (3)若a 某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是( ) A．x＋y>120 C．x＋y≥120 答案：C 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A．ad＞bc C．a－c＞b－d B．ac＞bd D．a＋c＞b＋d B．x＋y<120 D．x＋y≤120 解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D一定成立． 若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________． 解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N. 答案：M>N 用不等式(组)表示不等关系 (1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以 后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 【解】 (1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 故填72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0 这时菜园的另一条边长为＝?15－2??(m)． 2x 15－?， 因此菜园面积S＝x?2??x 15－?≥110， 依题意有S≥110，即x?2??故该题中的不等关系可用不等式表示为 ??0 ? x????x?15－2?≥110. 1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？ x 解：因为矩形的另一边15－≤11，所以x≥8，又0 22．本例(2)中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？ x 15－?的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13，14，解：函数S＝x?2??15，16，17时S≥110. 利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一． 1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为( ) x>85?? A.?y≥90 ??z≥95x>85?? C.?y≥90 ??z>95 x≥85?? B.?y>90 ??z>95x≥85?? D.?y>90 ??z≥95 解析：选C.x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C. 2．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________． 解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000 数(式)大小的比较 (1)比较3x3与3x2－x＋1的大小． (2)已知a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小． 【解】 (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1. 当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0， 所以3x3>3x2－x＋1. (2)因为a≥1， 所以M＝M 所以＝N a＋1－a>0，N＝a－a＋1－aa－ a－1 ＝ a＋ a－1 a－1>0. a＋1＋a . 因为a＋1＋a>a＋a－1>0， M 所以<1，所以M N 利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 1．若x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 解析：选A.因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A. 2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小． 解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2 －y2)(x＋2y) ＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)， 因为x>y>0，所以x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0， 所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即x3－2y3>xy2－2x2y. 3．比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2 1＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到 2等号．
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