15.极值点偏移问题 

第119课 极值点偏移问题

基本方法：

极值点偏移的含义：

对定义域内任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)关于直线x?m对称：可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同. 若f(x)为单峰函数，则x?m必为f(x)的极值点. 如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)?c的两根的中点为是极值点没有偏移.

x1?x2x?x，则刚好有12?x0，即极值点在两根的正中间，也就22

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x?m左侧的任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)或f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)，则若m?x1?x2与极值点m必有确定的大小关系： 2x1?x2x?x，则称为极值点左偏；若m?12，则称为极值点右偏. 22xx?x如图，函数f(x)?x的极值点x0?1刚好在方程f(x)?c的两根中点12的左边，我们称之为极值点左偏.

2e

极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；

2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）； 3. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，令x0?x1?x2，求证：f?(x0)?0； 2x1?x2，求证：f?(x0)?0. 24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，令x0?方法一：①利用对称性构造函数

ⅰ)求出函数f(x)的极值点x0；

ⅰ)构造一元差函数F(x)?f(x)?f(2x0?x)或F(x)?f(2x0?x)?f(x)； ⅰ)确定函数F(x)的单调性；

ⅰ)结合F(x0)?0，判断F(x)的符号，从而确定f(2x0?x)、f(x)的大小关系； ⅰ)再结合x1,2x0?x2或x2,2x0?x1的大小和函数f(x)的单调性得出所求结论. 方法二：②双变量转化单变量，构造函数不等式

从代数层面来看，极值点偏移问题是条件不等式的证明：在等量条件f(x1)?f(x2)的约束条件下求证x1,x2的二元不等式一个自然的想法是：能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？ 方法③：利用对数平均不等式

?a?b(a?b)?对数平均不等式的介绍与证明：两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b)??lna?lnb

??a(a?b)a?b对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab?L(a,b)?（此式记为对数平均不等式）

2取等条件：当且仅当a?b时，等号成立. 只证：当a?b时，ab?L(a,b)?（i）先证：ab?L(a,b)……① 不等式①?lna?lnb?a?b. 不失一般性，可设a?b. 证明如下： 2a?bab?lnaab1a???2lnx?x?(其中x??1) bbaxb2111构造函数f(x)?2lnx?(x?),(x?1)，则f?(x)??1?2??(1?)2.

xxxx因为x?1时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(1,??)上单调递减， 故f(x)?f(1)?0，从而不等式?成立； （ii）再证：L(a,b)?a?b……② 2a2(?1)a2(x?1)2(a?b)a(其中x??1) 不等式②?lna?lnb??lnx??ln?bb(x?1)a?bb(a?1)b14(x?1)22(x?1)?构造函数g(x)?lnx?. ,(x?1)，则g?(x)??x(x?1)2x(x?1)2(x?1)因为x?1时，g?(x)?0，所以函数g(x)在(1,??)上单调递增，

故g(x)?g(1)?0，从而不等式?成立；综合（i）（ii）知，对?a,b?R?，都有对数平均不等式ab?L(a,b)?成立，当且仅当a?b时，等号成立. 一、典型例题

1. 已知函数f(x)?xe?x(x?R).

a?b2（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明：当x?1时，f(x)?g(x)； （3）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2.

2. 已知函数f?x???x?2?ex?a?x?1?有两个零点. （1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f?x?的两个零点，证明：x1?x2?2.

二、课堂练习

1. 已知函数f?x??alnx?x2??2a?1?x?a?R?有两个不同的零点. （1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f?x?的两个零点，证明：x1?x2?2a.

2. 已知函数g?x??lnx?bx，若g?x?有两个相异零点x1,x2，求证：lnx1?lnx2?2.

三、课后作业

1. 已知函数f?x??lnx?x?m（m为常数）. ?1?（1）求函数f?x?在?,e?的最小值；

?e?2（2）设x1,x2是函数f?x?的两个零点，且x1?x2，证明：x1?x2?1.

2. 已知函数f(x)?ex?x?2m?3，x1,x2(x1?x2)是函数f(x)的两个零点. （1）求m的取值范围； （2）求证x1?x2?0.

3. 已知函数g?x???a?2?x?lnx，已知关于x的方程g?x??0有两个实根x1,x2，求证：x1?x2?

6. a