2017年士兵军校考试数学考点：极限和归纳法

2017年士兵军校考试数学考点：极限和归纳法

函数极限定义 设函数

在点

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数

时，对应的函数值

，当

时的极限，记作

(无论它多么小)，总存在正数，使得当x满足不等式都满足不等式：

。

方法

①利用函数连续性：

，那么常数A就叫做函数

(就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0) ②恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决： 第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。 第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。(通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小)

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。士兵军考，张为臻博客。 ③通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。 数列极限

设{Xn}为实数数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn} 收敛于a，定数a称为数列 {Xn} 的极限。

ε的双重性 (1)任意性

不等式|Xn-a|<ε刻划了Xn与a的无限接近程度,ε愈小，表示接近得愈好;而正数ε可以任意地小，说明Xn与a可以接近到任何程度。然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么ε/2,ε的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的

平方等来代替。同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数.另外，定义1中的|Xn-a|<ε也可改写成|Xn-a|≦ε。准维教育军队考试网

(2)相应性

一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的 ，比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N。

几何意义

当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个(至多只有N个)在其外。 数学归纳法

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的(第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外)的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

数学归纳法解题要点

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中： 第一步：验证n取第一个自然数时成立；

第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去；

最后一步总结表述。