（新课标）2017高考数学大一轮复习第八章平面解析几何46直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业文 

课时作业46 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)＋y＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )

1

A．－

2C．2

B．1 1D. 2

2

2

2

2

解析：圆心为C(1,0)，由于P(2,2)在圆(x－1)＋y＝5上，∴P为切点，CP与过点P的2－0

切线垂直，∴kCP＝＝2.又过点P的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，∴a＝kCP＝2.选C.

2－1

答案：C

2．(2016·陕西质检)若过点A(0，－1)的直线l与圆x＋(y－3)＝4的圆心的距离记为

2

2

d，则d的取值范围为( )

A．[0,4] C．[0,2]

B．[0,3] D．[0,1]

解析：设圆心为B，则B(0,3)，圆心B到直线l的距离d的最大值为|AB|＝4，最小值为0(此时直线l过圆心)，故选A.

答案：A

3．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x＋y＝r(r>0)内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax＋by＝r，则( )

A．m与n重合且n与圆O相离 B．m⊥n且n与圆O相离 C．m∥n且n与圆O相交 D．m∥n且n与圆O相离

解析：∵点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x＋y＝r(r>0)内一点，∴a＋b

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

r2r2

又圆心O(0,0)到直线n的距离为22，∴r<22，∴n与圆O相离．又直线m的斜率

a＋ba＋b是直线OP斜率的负倒数，∴直线m的斜率是－，∴m∥n，选D.

答案：D

4．(2016·吉林长春模拟)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)＋(y－1)＝1相切，则m＋n的取值范围是( )

A．[1－3，1＋3]

B．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)

2

2

abC．[2－22，2＋22]

D．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 解析：∵直线与圆相切，∴d＝r，即

|m＋1＋n＋1－2|

m＋1

2

＋n＋1

2

＝1，∴mn＝m＋n＋1.∵

m＋n?m＋n?2，

mn≤?∴m＋n＋1≤?4?2?

∪[2＋22，＋∞)．故选D.

答案：D

2

.令m＋n＝t，则t－4t－4≥0，解得t∈(－∞，2－22]

2

5．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x＋y＝1相切，则直线l的倾斜角为( ) π

A. 6C.2π 3

πB. 25πD. 6

22

|k＋3|3

解析：由题意知，＝1，∴k＝－. 3k2＋15π

∴直线l的倾斜角为. 6答案：D

6．(2016·浙江衢州检测)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x＋y＋4x－4y－1＝023

所截得的弦长为6，则＋的最小值为( )

2

2

abA．10 C．5＋26

2

2

B．4＋26 D．46

2

2

解析：圆x＋y＋4x－4y－1＝0的标准方程为(x＋2)＋(y－2)＝9，由于弦长为6，即23?23?为直径，所以直线过圆心(－2,2)，即－2a－2b＋2＝0，a＋b＝1，则＋＝?＋?(a＋b)≥5

ab?ab?

＋26，故选C.

答案：C

7．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)＋y＝4的位置关系是( ) A．相离 C．相交

B．相切 D．以上都有可能

2

2

|sinθ－2－sinθ|

解析：圆心到直线的距离d＝＝2. 22

sinθ＋cosθ所以直线与圆相切． 答案：B

8．(2016·河北衡水中学调研)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a＋1＝0和圆：x＋y＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是( )

A．a>7或a<－3 B．a>6或a<－6

C．－3≤a≤－6或6≤a≤7 D．a≥7或a≤－3

解析：圆(x＋1)＋y＝5，圆心(－1,0)，r＝5，两直线分别与圆相切时对应的a的边|－2＋a＋1||a－2|界值：＝5时，a＝±6；＝5时，a＝－3或a＝7，所以a的边界值

55分别为－3，7，±6，所以选C.

答案：C

9．(2016·山东青岛质检)过点P(1，3)作圆O：x＋y＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝( )

A.3 C.2 解析：

B．2 D．4

2

2

2

2

2

2

2

2

如图所示，∵PA、PB分别为圆O：x＋y＝1的切线， ∴OA⊥AP，|AB|＝2|AC|. ∵P(1，3)，O(0,0)．

2

2

∴|OP|＝1＋3＝2.

又∵|OA|＝1，∴∠AOP＝60°，

∴|AB|＝2|AC|＝2|AO|sin∠AOP＝3，故选A. 答案：A

10．(2016·贵州七校一模)已知圆C的方程为(x－1)＋y＝1，P是椭圆＋＝1上一

43→→

点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则PA·PB的取值范围为( )

2

2

x2y2

?3?A.?，＋∞? ?2?

56??C.?22－3，?

9??

B．[22－3，＋∞)

?356?D.?，?

?29?

解析：如图，

设PA与PB的夹角为2α，则0<α<|PA|·|PB|cos2α＝

2

π1→→，|PA|＝|PB|＝，所以PA·PB＝2tanα1

·cos2α 2

tanαcosα＝·cos2α 2

sinα＝

cos2α1＋cos2α

1－cos2α2

cos2α－1＋cos2α－1＋2＝

1－cos2α2

＝－1－(cos2α＋1)＋

1－cos2α2

＝－3＋(1－cos2α)＋，令t＝1－cos2α，

1－cos2α2→→

则设f(t)＝PA·PB＝t＋－3.由图易知，P在椭圆左顶点时α取得最小值，此时sinαt1π?1?2＝，而P接近椭圆右顶点时，α→，所以sinα∈?，1?，所以t＝1－cos2α＝2sinα32?3?

?2??2?∈?，2?.易知f(t)在?，2?上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f(t)min＝f(2)＝22?9??9?

56?→→?2?56f(2)＝0，?2?56所以PA?－3，而f??＝，所以f(t)max＝f??＝，·PB的取值范围为?22－3，?，

9??9?9?9?9?故选C.

答案：C 二、填空题

11．(2016·吉林长春质检)若圆x＋y＝4与圆x＋y＋2ay－6＝0(a>0)

2

2

2

2

的公共弦长为23，则a＝________.

1

解析：两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y＝，如图，由已知得|AC|＝3，|OA|

a1

＝2，∴|OC|＝＝1，∴a＝1.

a答案：1

12．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)＋(y－a)＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.

解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于

3×22

2

2

|1·a＋a－2|2

＝3，于是有＝3，即a－8a＋1＝0，解得a＝4±15. 2

a＋1

答案：4±15

13．(2016·云南统考)已知f(x)＝x＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)＋(y＋4)＝5相切，那么3a＋2b＝________.

解析：由题意得f(1)＝－2?a－2b＝－3， 又∵f′(x)＝3x＋a，

∴f(x)的图象在点P(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)． 即(3＋a)x－y－a－5＝0， ∴|

3＋a×2＋4－a－5|5

＝5?a＝－， 22

23＋a＋1

2

2

2

3

1

∴b＝，

4∴3a＋2b＝－7. 答案：－7

14．(2016·山东济南一模)设O为坐标原点，C为圆(x－2)＋y＝3的圆心，且圆上有

2

2

y→→

一点M(x，y)满足OM·CM＝0，则＝________.

x|2k|→→

解析：∵OM·CM＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，由2＝k＋13，得k＝±3，即＝±3. 答案：3或－3 三、解答题

15．已知圆C：x＋y＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0. (1)若直线l与圆C没有公共点，求实数m的取值范围；

(2)若直线l与圆C相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值． 37－4m?1?22

解：(1)圆的方程为?x＋?＋(y－3)＝，

4?2?37－4m37

故有>0，解得m<.

44

将直线l的方程与圆C的方程组成方程组， 得?

?x＋2y－3＝0，?

2

2

2

2

yx??x＋y＋x－6y＋m＝0，

2

消去y，得x＋?

?3－x?2＋x－6×3－x＋m＝0.

?2?2?

整理，得5x＋10x＋4m－27＝0.①

∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解． 故有Δ＝10－4×5(4m－27)<0，解得m>8.

2

2

?37?∴m的取值范围是?8，?.

4??

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

→→

由OP⊥OQ，得OP·OQ＝0，即x1x2＋y1y2＝0.② 由(1)及根与系数的关系，得

x1＋x2＝－2，x1x2＝

4m－27

.③ 5

又∵P，Q在直线x＋2y－3＝0上，

3－x13－x21

∴y1y2＝×＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．

224将③代入上式，得y1y2＝

m＋12

5

，④

4m－27m＋12

将③④代入②，得x1x2＋y1y2＝＋＝0.

55解得m＝3.

代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.

16．(2016·广东华南师大附中月考)已知圆M：x＋(y－2)＝1，Q是x轴上的动点，QA，

2

2

QB分别切圆M于A，B两点．

(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程； (2)求四边形QAMB面积的最小值； 42

(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．

3

解：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，则圆心M到切线的距离为1， ∴

|2m＋1|4

＝1，∴m＝－或0， 2

3m＋1

∴切线QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.

(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝|MQ|－|MA|＝|MQ|－1≥|MO|－1＝3.

∴四边形QAMB面积的最小值为3. (3)设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB. ∵MB⊥BQ，∴|MP|＝

1－?

2

2

2

2

?22?21

?＝. ?3?3

在Rt△MBQ中，|MB|＝|MP|·|MQ|， 1

即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3.

3设Q(x,0)，则x＋2＝9， ∴x＝±5，∴Q(±5，0)，

∴直线MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.

2

2

2