系统振动的周期为: T?2?m?m'K
（2）当m在最大位移处m'竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为2?m?m'K.
5-13 设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期.
分析 圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。 解: 如图所示,转轴o在环上,角量以逆时针为正,则振动方程为
d2?J2??mgRsin? dtd2?当环作微小摆动sin???时, 2??2??0
dt??mgR J解答图5-13
J?2mR2
?T?2???2?2R g5－14 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm．现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 物体的振动方程；(3) 物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；(4) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间．(5) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分
离？
分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。
解： 选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。 由：f?kx k?fx?200N/m ??k/m?50?7.07rad/s (1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a， 按牛顿第二定律有 mg?N?ma N?m(g?a)
当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体， 已知 A = 10 cm，k?200N/m,??7.07rad/s
系统最大加速度为 amax??2A?5m?s?2
此值小于g，故小物体不会离开． (2) t?0时，x0?10cm?Acos?,v0?0??A?sin?
解以上二式得 A?10cm??0
∴ 振动方程x?0.1cos(7.07t)(SI)
(3) 物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 f?m(g?a) ，而a???2x?2.5m?s?2
?f?29.2N
(4) 设t1时刻物体在平衡位置，此时x?0，即 0?Acos?t1, ∵ 此时物体向上运动， v?0 ∴ ?t?1??2,t1?2??0.222s。 再设t2时物体在平衡位置上方5cm处，此时x??5cm，即 ?5?Acos?t2,
N mg 题图5－14
5 cm O x 题图5－14
∵此时物体向上运动，v?0 ?t2?2?,3t2?2??0.296s 3? ?t?t2?t1?0.074s求得
g?a???2x x??g/?2??19.6cm
(5) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0
即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由amax??2A?g，可得 A?g/?2?19.6cm。
5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0Kg的重物.现使平板沿竖直方向作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0?10?2m，求： （1）平板到最低点时，重物对板的作用力；
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？ 分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。
解：重物与平板一起在竖直方向上作简谐振动，向下为正建立坐标， 振动方程为：x?0.02cos(4?t??)
设平板对重物的作用力为N，于是重物在运动中所受合力为：
而a???2x f?mg?N?ma，据牛顿第三定律，重物对平板的作用力N'为：N'??N??m(g??2x) （1）在最低点处：x?A,由上式得，N'?12.96N
（2）频率不变时，设振幅变为A',在最高点处（x??A'）重物与平板间作用力最小，设N'?0可得：A'?g/?2?0.062m
（3）振幅不变时，设频率变为?'，在最高点处（x??A'）重物与平
板间作用力最小，设N'?0可得：?'??'/2??12?g/A?3.52Hz
5-16一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向轴正方向运动，求： （1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；
（2）物体从x??0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？
分析 通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。 解：设该物体的振动方程为x?Acos(?t??) 依题意知：??2?/T??rad/s,A?0.06m 据???cos?1x0得????/3(rad) A由于v0?0,应取????/3(rad) 可得：x?0.06cos(?t??/3)
（1）t?0.5s时，振动相位为：???t??/3??/6rad 据x?Acos?,得x?0.052m,v??A?sin?,v??0.094m/s,a??A?2cos????2x a??0.512m/s2
（2）由A旋转矢量图可知，物体从x??0.03mm处向x轴负方向运动，到达平衡位置时，A矢量转过的角度为???5?/6，该过程所需时间为：
?t???/??0.833s
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