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4 稳定性分析
4．1李氏稳定性分析 （1） 平衡状态
设系统 x?f?x,t? x—n维状态向量。 f—n维函数向量。 若存在状态向量x，对所有的t，使得 f?xt??0
ee成立，则称x为系统的平衡状态。 例如 系统
e
?x1??x1?3x?x?x?x?2122
解：有3个平衡点 x?0??e1?0???，xe2?0??????1?，xe3?0?????1?
（2） 稳定性分析
1） 李亚普诺夫意义下的稳定 对于任选??0，都对应存在?(?,t)?0的实数，当
x?x??(?,t)时
其解满足 ?(x,t,t)?? t?t??
则称平衡状态x为李亚普诺夫意义下的稳定，如果?与t无关，则称x是一致稳定
00e0000ee 学习 资料 整理 分享
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的。
2） 渐近稳定
由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t??时， ?(t,x,t)?x?0
00e则x平衡点是渐近稳定的。 3） 大范围稳定
如果x稳定，而且对于所有的x，?(t,x,t)?x?0，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。 4） 不稳定
由初始状态引起的运动无论x?x??，?多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点x是不稳定的。 4．2李氏第一方法
（1） 线性定常系统的稳定判据：
x?Ax?Bu y?Cx
ee000e0ee系统稳定的充要条件是SI?A?0的特征根全位于S左半面，输出稳定的充要条件是W(S)?C(SI?A)B的极点全位于S左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
?1 学习 资料 整理 分享
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例：
A?10?1?，B???， C??10? ?11??120 S??1，S?1
状态不全稳定，属于状态不稳系统， 而输出为
SI?A?(S?1)?(S?1)?00??1??S?1S?1W(S)?C(SI?A)?1B??10????S?1???S?1??1?(S?1)(S?1)?0是
输出稳定系统。
（2） 非线性系统的稳定性
设系统状态方程为
x?f?x,t?，x为其平衡点 f,x?R
en可将邻域内展成泰勒级数
x??fx?xe??R?x?T??x，R?x?—高阶导数项
??f1?f1???x...?x??fn?1???AT??fn?fn??x??x...?x?n?x?x?1e称为雅可比矩
阵
线性化近似方程为
?x?A?x，?x??x?x?
e 学习 资料 整理 分享
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李氏结论：
① 如果系数矩阵A的所有特征根都具有负实部则原系统在平衡点x是渐近稳定的，与R?x?无关；
② 如果A的特征根有位于S右半面的，系统的平衡点x不稳定；
③ 如果A的特征根有位于S平面纵轴上的，则x的稳定性将取决于R?x?，仅由A不能下结论。 例
eee?x1?x1?x1x2??x2??x2?x1x2判断系统的稳定性。
解：系统有三个平衡点
?0?xe1????0?e1，xe2?1?????1?
在x处将其线性化得：
?x?A?x10?，A???0?1?，特征根为-1，1，
??原系统在x是不稳定的；
在x处将其线性化得：
e1e2?x?Ax0?1?，A???10?，特征根为s??j，在纵
??e2轴上难以得出x点的稳定性结论。（可由第二
方法判定）
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4．3李氏第二方法
第二方法也称直接法，构造系统的李亚普诺夫函数对系统的平衡点进行判断。 （1）预备知识
1） 标量函数正定性的定义：设V?x?是由n维矢量定义的标量函数，x??[属于欧氏空间]，在x?0处，V?x??0，而x??的其他非0向量如果成立
① V?x??0，则称V?x?为正定的，如V?x??x?2x ② V?x??0，则称V?x?半正定，如V?x???x?x? ③ V?x??0，则称V?x?为负定的，如V?x????x?x? ④ V?x??0，则称V?x?半负定，如V?x????x?x? ⑤ V?x??0或V?x??0，则称为不定的，如V?x??x?x
2122212212221212例 判断下列函数的正定性
x??xxx?，V?x???x?x??x
解：对于非0的x，例如x??a?a0?， V?0??0，V?x??0，其它为V?x??0，所以V?x?是半正定的。 2） 二次型标量函数 定义 二次型标量函数
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