数学破题36计 第36计 思想开门 人数灵通
●计名释义
为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？
所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.
●典例示范
【例1】 有一个任意的三角形 ABC（材料），计划拿它制造一个 直三棱柱形的盒子（有盒盖） ，怎样设计尺寸（用虚线表示），
才能不浪费材料（图右上）？ 例1图 【思考】 “任意”三角形属一般情况， 它的对立面是“特殊”的三角形. 我们先从正三角形考虑起.
假设这个尺寸如图（1）所示. （1）三棱柱的底面A1B1C1的 中心G为原三角形的中心.
（2）柱体的三侧面是三个矩形，
矩形的长与底面△A1B1C1的边长对应相等. （3）柱体的上底面（盒盖）由
三个四边形拼合，拼成后的三角形与A1B1C1全等. 例1题解图（1）
经过以上思考，底面小三角形的三个顶点，如C1，它应满足两个条件：其一，C1是GC的中点；其二，C1到∠C两边的距离相等，
因此它在∠C的平分线上.于是在一般的情况下，点G应是△ABC的内心. 【解答】 作△ABC的∠A和∠B的 平分线相交于内心G，如图（2）所示. 分别作GA、GB、GC的中点A1、B1、C1. △A1B1C1为直三棱柱的一个底面. 过A1，B1，C1三点分别作对应边 的垂线（段），所得矩形为柱体的三个侧面. 经过以上截取后，原△ABC三个顶点 处所余下的三个四边形拼在一起，
作为柱体的另一个底面（盒盖）. 例1题解图（2）
【点评】 本题的设问，只要求讲出“设计操作”，形式上“不讲道理”.实质上，人的操作是受思想支配
的，因此，本质上是在考“思想”.本解法在探索过程中为找到三角形的内心，运用的就是数学上七大基本思想之一——特殊一般思想.
【例2】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是
1. 2(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；
（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.
【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P=C23·（
12113）··=. 22216153）=； 216(2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类： ①5次投中3次，有C24种可能投球方式，其概率为：P（3）=C24·（
②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P（2）=（
1415）+3·（）5=； 22321313）+（）4=； 2216121）=， 24③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式， 其概率为：P（1）=（
④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=
353125+++ =. 163216432
【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.
●对应训练
1.函数y=lg?1?
??1??的定义域是： ( ) x?A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|0
1=1 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125
所暗示的一般规律是 .
●参考答案
1. D
A、B
x=
利用特殊值.x= -1，2时，函数有意义，排除
1时，函数无意义，排除2C.
2.（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3
设第n行左边第一个数为an，则a1=1，a2=3，an+1=an+2n. 叠加得an=n2-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是
（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.
【点评】 数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.
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