2012年绍兴中考数学试题(解析版)

25．（2012绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y?x2?4x?2经过A，B两点。 （1）求A点坐标及线段AB的长；

（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。

①当PQ⊥AC时，求t的值；

②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。

考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）由抛物线y?x?4x?2知：当x=0时，y=﹣2， ∴A（0，﹣2）。

由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同； 当y??2时，?2?x?4x?2，解得x1?0，x2?4， ∴B（4，﹣2）， ∴AB=4。

（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t， Q点移动路程为7(t?1)?7t?7。

当Q点在OA上时，即0?7t?7?2，1?t?229时， 7如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。

QAAP7t?7t=?， ，即ABBC427∴t?。

579∵?， 57∴

∴此时t值不合题意。

当Q点在OC上时，即2?7t?7?6，如图2，过Q点作QD⊥AB。 ∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。 ∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。

若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，

913?t?时， 77 13

∴

QADP29?6tAB=BC，即4?4， ∴t?43。

∵97?4133?7， ∴t?43符合题意。

当Q点在BC上时，即6?7t?7?8，

137?t?157时， 如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，

则QG⊥PG，即∠GQP=90°。

∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾， 此时PQ不与AC垂直。 综上所述，当t?43时，有PQ⊥AC。 ②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，

∴

BPBA=BQBC， ∴4?t8?7(t?1)4?2， 解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC。 此时AP=2，BQ=CQ=1， ∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。 抛物线对称轴的解析式为x=2， 当H1为对称轴与OP的交点时， 有∠H1OQ=∠POQ，

∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。

作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M， 过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′， 在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。 ∴OQ=17，

∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S1△COQ﹣S△QBP=3=

2OQ×PM， ∴PM=61717， ∴PP′=2PM=121717，

∵NPP′=∠COQ。

∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′

∴CQOQ=P'NPP'， ∴P'N?124817 ，PN?17，

∴P′（4617，1417）， 14

7x， 2314∴OP′与NP的交点H2（2，）。

2314∴当yH?时，∠HOP＞∠POQ。

2314综上所述，当yH??2或yH?时，∠HOQ＞∠POQ。

∴直线OP′的解析式为y?23

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