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（2018·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?kx?2。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0
（I）求C2的直角坐标方程；（II）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。 【解析】（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．
222（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与
C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?综上，所求C1的方程为y??【基本解法2】（代数法）
|?k?2|?2，故k??4或k?0． 23k?14时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公3|k?2|?2，故k?0或k?4．
3k2?14时，l2与C2没有公共点． 34|x|?2． 3?22?y?kx?2?x?1?kx?2?4?????22???x?1??y?4??1?k2?x2??2x?4kx??1?0x?0????221?kx??2?4k?x?1?0????x0???221?kx??2?4k?x?1?0????
交点个数等于方程组解的个数和，显然每个方程组最多有两个解。所以只能一个组一个解，一组两个解。
??0??2?4k??4?1?k2??0244?k1?0,k2?,k3??33
经检验可知：当k=0时，曲线C1的方程为y?2，与圆只有一个交点，故舍去。
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44时，曲线C1的方程为y?x?2，与圆没有交点， 3344当k??时，曲线C1的方程为y??x?2，与圆有且只有三个交点，
334所以曲线C1的方程为y??x?2。
3当k?
?x?2cos?（2018·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数），直线l的参
y?4sin???x?1?lcosa数方程为?（l为参数）．
y?2?lsina?
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为?1，2?，求l的斜率． ?x?2cos?【基本解法】解法一：因为 曲线C的参数方程为?（?为参数）
y?4sin??x2y2所以曲线C直角坐标方程为??1
416?x?1?lcosa因为直线l的参数方程为?（l为参数）．
y?2?lsina?
所以 ① 当?? ② 当???2?k?,k?Z时，直线l的直角坐标方程为y?tan?x?2?tan? ?k?,k?Z时，直线l的直角坐标方程为x?1
?2（2）解法一：点差法：设直线与椭圆的交点为A、B，坐标分别为?x1,y1?、?x2,y2?，中点P． ?x12y12??1?11?416k?2???4，所以kAB??2. 则有?2作差可知：，k?k?ABABOP2212e?1?x2?y2?1?116?16?4解法二：参数法：将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
?1?3cos??t22?4?2cos??sin??t?8?0
t1?t2??4?2cos??sin??1?3cos2?
由题意可知：t1?t2?0 2co?s?s?in??0 ?ta?n??x2y2?12????4?tan2??x2?2tan??2?tan??x??2?tan???16?0 解法三：直角坐标法：?416?y?tan?x?2?tan??所以x1?x2??2tan??2?tan???4?tan2???2解得：tan???2
（2018·新课标Ⅲ，理22）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
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?x?cos?，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?（?为参数），过点0，?2且倾斜角为?的
y?sin????直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)?的取值范围；⑵求AB中点P的轨迹的参数方程．
?x?cos?22解析：（1）eO的参数方程为?，∴eO的普通方程为x?y?1，当??90?时，直线：
?y?sin?l:x?0与eO有两个交点，当??90?时，设直线l的方程为y?xtan??2，由直线l与eO有两个
交点有|0?0?2|1?tan2?1，∴tan??1或tan???1，∴45????90?或90????135?，?1，得tan2??综上??(45?,135?).
（2）点P坐标为(x,y)，当??90?时，点P坐标为(0,0)，当??90?时，设直线l的方程为
22??x?y?1①22y?kx?2，A(x1,y1),B(x2,y2)，∴?有x?(kx?2)?1，整理得
??y?kx?2②?2kx?③?22kx?22?1?k222(1?k)x?22kx?1?0，∴x1?x2?y?y?k??，，∴ 得代?121?k21?k2y?y??2④?1?k2?22入④得x?y?2y?0.当点P(0,0)时满足方程x2?y2?2y?0，∴AB中点的P的轨迹方程是
x2?y2?2y?0，即x2?(y?2222122,?)，则)?，由图可知，A(,?)，B(?222222?2x?cos??2?2??y?0，故点P的参数方程为?（?为参数，0????）.
2?y??2?2sin???22
（2017·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?3cos?,（?为参数），直线l的参
?y?sin?,广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎学习交流
?x?a?4t,数方程为?（t为参数）．
?y?1?t,（1）若a??1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．
x2解析：（1）a??1时，直线l的方程为x?4y?3?0．曲线C的标准方程是?y2?1，
921??x?4y?3?0x???x?3??2??2124?253，0??联立方程?x，解得：或，则与交点坐标是和Cl????，? 2y?024?2525???y???y?1?9?25?（2）直线l一般式方程是x?4y?4?a?0．设曲线C上点p?3cos?，sin??． 则P到l距离d?3cos??4sin??4?a17?5sin??????4?a17，其中tan??3． 4依题意得：dmax?17，解得a??16或a?8．
（2017·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
解析：（1）解法一：设P点在极坐标下坐标为??,?? 由OM?OP?16可得M点的坐标为??16?,??，代入曲线C1的极坐标方程，得： ???16?22即??4c两边同乘以?，化成直角坐标方程为：x?y?4x，由题意知??0，os?，cos??4，
所以检验得x?y?4x(x?0)．
解法二：设P点在直角坐标系下坐标为?x,y?，曲线C1的直角坐标方程为x?4，因为O,P,M三点共线，
2216y2?4y?22所以M点的坐标为?4,?，代入条件OM?OP?16得：16?2?x?y?16，因为x?0，
x?x?化简得：x?y?4x(x?0)．
（2）解法一：由（1）知曲线C2的极坐标方程为??4cos，?，故可设B点坐标为(4cos??,)22
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