（2）由（1）知，所以所以
，
，，
，
故存在常数，使得．
【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的
，结合已知条件存在，否则不存在.
18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形
对角线的交点重
，得出坐标关系，再把
，
，
代入求出符合题意，则
合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且透光区域的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数助求导，研究函数单调性求出最大值. 试题解析:（1）过点作所以
， ．
所以因为
，所以
，所以定义域为
．
，
于点，则
，
，借
．设
，
- 9 -
（2）矩形窗面的面积为则透光区域与矩形窗面的面积比值为设则
，
因为所以函数所以当
在时，
，所以
上单调减． 有最大值
，此时
，定义域为
，所以
，故
，
．
． ．?10分
，
(m)．
；
答：（1）关于的函数关系式为
（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．
【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法. 19. 已知两个无穷数列都有（1）求数列（2）若（3）若
和
的前项和分别为，，．
的通项公式；
，都有
，
，求满足
．证明：
；
，
，对任意的
，
为等差数列，对任意的为等比数列的值．
，
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：利用题目提供的 方面的关系，借助证明出
转化为的关系，
成等差数列，
是
满足等差数列定义，利用等差数列通项公式求出，进而得出，
恒成立，得出和公差的要求，比较
写出，根据的大小可采用比较法；
以为首项，为公比的等比数列，求出和，根据题意求出的值. 试题解析： （1）由
，得
- 10 -
，
即由
，
，所以，可知
．
．
所以数列故
是以为首项，为公差的等差数列．
．
，
的通项公式为
（2）证法一：设数列
由（1）知，因为所以又由所以
，得，所以
的公差为，则．
，即
即
，
恒成立，
．
所以证法二：设则因为所以因为
，得证．
的公差为，假设存在自然数
，即
，所以
．
，
，所以存在
，都有
，当
时，
恒成立．
，使得
，
，
这与“对任意的所以
，得证．
”矛盾！
（3）由（1）知，
所以所以则因为而
．因为 为等比数列，且，，
是以为首项，为公比的等比数列．
，
．
，
，所以，所以
，即
，所以
．
（*）．
- 11 -
当当则
，时，（*）式成立； 时，设
，
，
所以
故满足条件的的值为和．
【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用20. 已知函数（1）当（2）设函数（3）若函数
，时，求函数
，
的单调增区间；
，
的定义域都是
．若函数，对于函数
的最小值是
，求的值；
这个公式，从到，从到转化.
． ．
的图象上的任意一点，在函数
的图象上都存在一点，使得【答案】（1）（2）
，其中是自然对数的底数，为坐标原点．求的取值范围．
【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决
问题，先求出斜率
的取值范围，根据垂直关系得出斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题. 试题解析： （1）当
时，因为所以当所以函数（2）
当当所以
，
在时，
上单调增，且
；当
， 时，．
．
．
的单调增区间是
，则时，
，函数，函数
在
，令
在
上单调减； 上单调增．
得，
时，
．
- 12 -
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