(完整word版)福建省数学(理科)高考试卷及答案

数学试题（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.

（1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

（13）31

（14）(??,0)?(10,??)

（15）9?

（16）③④

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元

二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得mgn?3sinA?cosA?1,

1. 2??? 由A为锐角得A??,A?.

6631 （Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA?,

2 2sin(A?)?1,sin(A?)??6?63. 213 因为x∈R，所以sinx???1,1?，因此，当sinx?时，f(x)有最大值.

22 所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sinx??2(sinx?)?2212 当sinx= -1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?.

2??3??（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知

识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面PAD?平面ABCD=AD, PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC, 所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2, 在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以OB＝2，

在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

PO122??,?PBO?arctan. BO2222. 23. 2所以异面直线PB与CD所成的角是arctan（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 设QD＝x，则S?DQC?1x，由（Ⅱ）得CD=OB=2， 2 在Rt△POC中， PC?OC2?OP2?2,

33所以PC=CD=DP, S△PCD=?(2)2?,

42

311133由Vp-DQC=VQ-PCD,得?x?1??，解得x=?2，所以存在点Q满足题意，此时?232322AQ1?. QD3解法二：

(Ⅰ)同解法一.

uuuruuuruuurOD、OP的方向分别为x轴、y(Ⅱ)以O为坐标原点，OC、轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题

意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),

uuuruur，，0），PB＝（，1?1，?1）. 所以CD＝（?11cos

(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

6， 33， 2

uuruuur由(Ⅱ)知CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).

uur???x0?z0?0,?ngCP?0,则?uuu所以即x0?y0?z0， r??x?y?0,?00??ngCD?0,取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

uuur?1?y3|CQ?n|3?, 设Q(0,y,0)(?1?y?1),CQ?(?1,y,0),由,得?|n|223解y=-

15或y=(舍去)， 22AQ113?. ,QD?，所以存在点Q满足题意，此时

QD322此时AQ?(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学

思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为f(x)?13x?x2?2,所以f′(x)=x2+2x, 32? 由点(an,an?1?2an?1)(n?N)在函数y=f′(x)的图象上,

22得an?1?2an?1?an?2an，即(an?1?an)(an?1?an?2)?0, ? 又an?0(n?N),所以an?1?an?2，又因为a1?3，

所以Sn?3n?n(n?1)?2=n2?2n,又因为f′(n)=n2+2n,所以Sn?f?(n), 2 故点(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解:f?(x)?x?2x?x(x?2), 由f?(x)?0,得x?0或x??2.

当x变化时,f?(x)﹑f(x)的变化情况如下表:

2x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,+∞) + ↗ 注意到(a?1)?a?1?2,从而

①当a?1??2?a,即?2?a??1时,f(x)的极大值为f(?2)??

2,此时f(x)无极小3

值；

②当a?1?0?a,即0?a?1时,f(x)的极小值为f(0)??2,此时f(x)无极大值； ③当a??2或?1?a?0或a?1时,f(x)既无极大值又无极小值.

(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的

能力.满分12分.

解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1 ，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第

一次考试合格”为事件B1 ，“科目B补考合格”为事件B2.

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，

211??. 3231答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.

3则P(A1gB1)?P(A1)?P(B1)?(Ⅱ)由已知得，?＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

P(??2)?P(A1gB1)?P(A1gA2)

?2111114??????. 3233399P(??3)?P(A1gB1gB2)?P(A1gB1gB2)?P(A1gA2gB2)

?2112111211114????????????, 3223223326699P(??4)?P(A1gA2gB2gB2)?P(A1gA2gB1gB2) 12111211111??????????, 33223322181894418故E??2??3??4??.

99938答：该考生参加考试次数的数学期望为.

3 ?(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思

想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形， 所以OF?3MN, 232bg,解得b＝3. 232 即1＝x2y2??1. a?b?1?4,因此，椭圆方程为432