∴1﹣a=① 又f（﹣1）=f（1）， ∴2a+b=0，② 由①②解得a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10． 故答案为：﹣10． 点评： 本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题． 11．（5分）设a为锐角，若cos（a+
）=，则sin（2a+
）的值为 ．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据a为锐角，cos（a+）=为正数，可得a+也是锐角，利用平方关系可得sin（a+）=．接下来配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=）=sin2acos+cosasin=． ，cos2a=，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+解答： 解：∵a为锐角，cos（a+∴a+）=， ）=也是锐角，且sin（a+）﹣= +sin=2∴cosa=cos[（a+sina=sin[（a+]=cos= ）﹣]=cos﹣sin由此可得sin2a=2sinacosa=又∵sin=sin（）=sin2acos ）=+cosasin，cos2a=cosa﹣sina=，cos==cos（?+）=2 ?= ∴sin（2a+故答案为：点评： 本题要我们在已知锐角a+的余弦值的情况下，求2a+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是
．
2
2
考点： 圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系． 专题： 计算题． 分析： 由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可． 22解答： 解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）+y=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的2012数学 9
圆； 又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴只需圆C：（x﹣4）+y=4与直线y=kx﹣2有公共点即可． 设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d， 则d=≤2，即3k≤4k， 2′22∴0≤k≤． ∴k的最大值是． 故答案为：． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）+y=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题． 13．（5分）已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 9 ． 考点： 一元二次不等式的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可． 解答： 解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞）， 222
∴f（x）=x+ax+b=0只有一个根，即△=a﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6）， 即为x+ax+则x+ax+2222 ＜c解集为（m，m+6）， ﹣c=0的两个根为m，m+6 ∴|m+6﹣m|==6 解得c=9 故答案为：9 点评： 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题． 14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是 [e，7] ． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，2012数学 10
设函数f（x）=解答： 解：∵4c﹣a≥b＞0 ∴＞， ∵5c﹣3a≤4c﹣a， ∴≤2． （x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决． 从而 ≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2． 又clnb≥a+clnc， ∴0＜a≤cln， 从而≥，设函数f（x）=（x＞1）， ∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0， ∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值． ∴f（x）min=f（e）==e． 等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1． 从而的取值范围是[e，7]双闭区间． 点评： 本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在△ABC中，已知（1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC=
，求A的值．
．
考点： 解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题． 分析： （1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA； （2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，2012数学 11
求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数． 解答： 解：（1）∵?=3?， ∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB， 由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB， 又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0， 在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA； （2）∵cosC=sinC=，0＜C＜π， =， ∴tanC=2， 则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2， ∴=﹣2， 将tanB=3tanA代入得：2=﹣2， 整理得：3tanA﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0， 解得：tanA=1或tanA=﹣， 又coaA＞0，∴tanA=1， 又A为三角形的内角， 则A=． 点评： 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直线A1F∥平面ADE．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 计算题． 分析： （1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合2012数学 12
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