2012年江苏高考数学试卷含答案和解析

（1）设bn+1=1+

，n∈N*，，求证：数列是等差数列；

（2）设bn+1=

?

，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）由题意可得，an+1===，从而可得，可证 （2）由基本不等式可得，，由{an}是等比数列利用反证法可证明q=解答： =1，进而可求a1，b1 解：（1）由题意可知，an+1=== ∴ 从而数列{}是以1为公差的等差数列 （2）∵an＞0，bn＞0 ∴ 从而（*） 设等比数列{an}的公比为q，由an＞0可知q＞0 下证q=1 若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾 0＜q＜1，则综上可得q=1，an=a1， ，故当时，与（*）矛盾 2012数学 17

所以， ∵ ∴数列{bn}是公比的等比数列 若，则，于是b1＜b2＜b3 又由可得 ∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾 ∴∴，从而 = 点评： 本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用． 三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分） 21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]

如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．

求证：∠E=∠C．

B．[选修4﹣2：矩阵与变换]

已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．

C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程] 在极坐标中，已知圆C经过点P（程．

D．[选修4﹣5：不等式选讲]

已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜

．

，

），圆心为直线ρsin（θ﹣

）=﹣

与极轴的交点，求圆C的极坐标方

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考点： 特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）． 专题： 选作题． 分析： A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证． B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值． C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程． D．根据绝对值不等式的性质求证． 解答： A．证明：连接 AD． ∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）． ∴AD⊥BD（垂直的定义）． 又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）． ∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）． ∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）． 又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点， ∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）． ∴∠E=∠C（等量代换）． B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A= ∴f（λ）=∴λ1=﹣1，λ2=4 =λ﹣3λ﹣4=0 2C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣∴在ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点， ）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）． ，），∴圆C的半径为PC=1． ∵圆C 经过点P（∴圆 的极坐标方程为ρ=2cosθ． D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+2|2x﹣y|，：|x+y|＜，|2x﹣y|＜， ∴3|y|＜∴ ， 点评： 本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，2012数学

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综合性强 22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1． （1）求概率P（ξ=0）；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）． 考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 专题： 压轴题． 分析： （1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率． （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望． 解答： 解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有8对相交棱， ∴P（ξ=0）=． ，其中距离为）=的共有6对， ． （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或∴P（ξ=）=，P（ξ=1）1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=∴随机变量ξ的分布列是： ξ 0 P ∴其数学期望E（ξ）=1×+1 =． 点评： 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键． 23．（10分）设集合Pn={1，2，…，n}，n∈N．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数： ①A?Pn；②若x∈A，则2x?A；③若x∈

A，则2x?

A．

*

（1）求f（4）；

（2）求f（n）的解析式（用n表示）． 考点： 函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）由题意可得P4={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4） （2）任取偶数x∈pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数；若m?A，则x∈A?k为奇数，可求 解答： 解（1）当n=4时，P4={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4} 故f（4）=4 （2）任取偶数x∈pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m， k*于是x=m?2，其中m为奇数，k∈N 由条件可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数 若m?A，则x∈A?k为奇数 于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Qn是Pn中所有的奇数的集合 2012数学

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