范围、最值问题
范围问题 y2x26
【例1】 (2018·贵阳监测)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为3，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．
[解] (1)设椭圆的半焦距长为c， c6
?a＝3，则由题设有?
?a－c＝3－
2，
解得a＝3，c＝2，∴b2＝1， y22
故椭圆C的方程为3＋x＝1.
(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，
y22
将直线l：y＝kx＋2代入3＋x＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0， －4k1
Δ＝12k2－12，x1＋x2＝，xx＝. 12
3＋k23＋k2∴x0＝
x1＋x2－2k6
＝，y＝kx＋2＝， 0023＋k23＋k2
|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2 ＝1＋k
2
12k2－1223k4－1
＝，
3＋k23＋k2
?Δ＝12k2－12＞0，?
由题意可得?61
≤|AB|，2??3＋k244
即k≥13或k≤－13.
解得k4≥13，
44
故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－13]∪[13，＋∞)． [规律方法] 求参数范围的四种方法 ?1?函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解. ?2?不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围. ?3?判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围. ?4?数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解. x2y2 (2019·临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦
xy
点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线4＋2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
xy
(2)设直线4＋2＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
x2y2
[解] (1)由题意得a＝2c，b＝3c，则椭圆E为4c2＋3c2＝1. x2y22??4＋3＝c，xy??4＋2＝1
由?
得x2－2x＋4－3c2＝0.
xy
∵直线4＋2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M， ∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0?c2＝1， x2y2
∴椭圆E的方程为4＋3＝1. 3??
(2)由(1)得M?1，2?，
??
2
xy52
∵直线4＋2＝1与y轴交于P(0,2)，∴|PM|＝4， 当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋3)(2－3)＝1， 4∴由λ|PM|2＝|PA|·|PB|?λ＝5，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?y＝kx＋2，由?2?(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 2
?3x＋4y－12＝04122
依题意得x1x2＝，且Δ＝48(4k－1)＞0，∴k＞
4， 3＋4k2415
∴|PA|·|PB|＝(1＋k)x1x2＝(1＋k)·＝1＋＝λ，
3＋4k23＋4k24
2
2
1?4?14
∴λ＝?1＋3＋4k2?，∵k2＞，∴＜λ＜1，
5?45??4?综上所述，λ的取值范围是?5，1?.
??
最值问题 ?考法1 利用几何性质求最值问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
222
[双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝02
平行，故两平行线的距离d＝
|1－0|2
＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大2221＋?－1?
22
于c恒成立，得c≤2，故c的最大值为2.] ?考法2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值
3
x2y23
【例3】 已知点A(0，－2)，椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，F是椭23
圆E的右焦点，直线AF的斜率为3，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
223
[解] (1)设F(c,0)，由条件知，c＝3，得c＝3. c3
又a＝2，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. x22
故E的方程为4＋y＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． x22
将y＝kx－2代入4＋y＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 8k±24k2－33
当Δ＝16(4k－3)>0，即k>4时，x1,2＝.
4k2＋1
2
2
4k2＋1·4k2－3
从而|PQ|＝k＋1|x1－x2|＝.
4k2＋1
2
又点O到直线PQ的距离d＝
2
. k2＋1
44k2－31
所以△OPQ的面积S△OPQ＝2d·|PQ|＝.
4k2＋14t4
设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝2＝4.
t＋4
t＋t
47
因为t＋t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±2时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ的面积最大时， 77
l的方程为y＝2x－2或y＝－2x－2. ?考法3 建立函数关系利用导数求最值问题
?11??39?－，??【例4】 (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x＝y，点A24，B?2，4?，????
2
4
13
抛物线上的点P(x，y)－2 (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 1 x2－4x＋2 13 因为－2 所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)． 11 kx－y＋??2k＋4＝0， (2)联立直线AP与BQ的方程?93 x＋ky－??4k－2＝0，－k2＋4k＋3 解得点Q的横坐标是xQ＝. 2?k2＋1??1? 因为|PA|＝1＋k2?x＋2?＝1＋k2(k＋1)， ???k－1??k＋1?2 |PQ|＝1＋k(xQ－x)＝－， 2 k＋1 2 [解] (1)设直线AP的斜率为k，k＝ 1＝x－12， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 1?1??1? ?2，1?上单调递减，所以f(k)在区间?－1，2?上单调递增，因此当k＝2时，|PA|·|PQ| ????27 取得最大值16. [规律方法] 圆锥曲线中最值问题的解决方法 ?1?代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值. 5
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