直线与圆的方程 §7.1 直线的方程
1.设直线l与x轴的交点是P，
若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则
3
基础自测
且倾斜角为?,
（ ）
B.0°≤?＜135° D. 0°＜?＜135°
（ ） D.120° ( )
A.0°≤?＜180° 答案 D
C. 0°＜?≤135°
2.（20082全国Ⅰ文）曲线y=x-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为
A.30° 答案 B
3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为
A.1 答案 A
4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为
A.2x+y=0 答案 A
B.4
C.1或3
B.45°
C.60°
D.1或4
（ ）
B.x-2y+5=0 C.x-2y=0 D.x+2y-5=0
5.(20092株州模拟)一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .
答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
例1 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上.
证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴kAB=
3?15?3=2,kBC==2，∴kAB=kBC， 3?14?3∴A、B、C三点共线.
方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35， ∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线. 方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴AB=（2，4），BC=（1，2），∴AB=2BC. 又∵AB与BC有公共点B，∴A、B、C三点共线. 例2已知实数x,y满足y=x-2x+2 (-1≤x≤1).
2
试求：解 由
y?3的最大值与最小值. x?2y?3的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,x?2如图可知：kPA≤k≤kPB,
由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴故
4≤k≤8， 3y?34的最大值为8，最小值为. x?23例3 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y=
2x，即2x-3y=0. 3xy??1， ab若a≠0，则设l的方程为∵l过点（3，2），∴
32??1， aa∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3-由已知3-2,令x=0,得y=2-3k, k22=2-3k，解得k=-1或k=, k3∴直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=
2(x-3), 3即x+y-5=0或2x-3y=0.
（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为?， 则所求直线的倾斜角为2?. ∵tan?=3,∴tan2?=
2tan?1?tan2?=-
3. 4又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=-即3x+4y+15=0.
例4 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|2|PB|最小时l的方程.
3(x+1), 4
解 方法一 设直线的方程为由已知可得
21??1. abxy??1 (a＞2,b＞1), ab 2分
（1）∵2∴S△AOB=当且仅当（2）由
2121?≤?=1，∴ab≥8.
abab
4分
1ab≥4. 2
xy211==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为?=1,即x+2y-4=0. 6分
42ab221+=1,得ab-a-2b=0, ab
变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|2|PB|
=(2?a)2?(1?0)22(2?0)2?(1?b)2 =[(2?a)2?1]?[(1?b)2?4] ≥2(a?2)?4(b?1). 当且仅当a-2=1,b-1=2,
即a=3,b=3时，|PA|2|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0.
12分
方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于
10分
1??A?2?,0?、B（0，1-2k）.
k??（1）S△AOB==
1?1??2??（1-2k） 2?k?11??3?4?(?4k)?(?)? 2k??1（4+4）=4. 2111,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. k22≥
当且仅当-4k=-6分
1（2）|PA|2|PB|=()2?12 4?4k2
k=
4?4k2?8≥4, 2k4k2当且仅当12分
=4k,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
2
1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a）、B（b，b）、C（c，c）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，
a3?b3a3?c32222
∴，化简得a+ab+b=a+ac+c， ?a?ba?c333
∴b-c+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0， ∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.
2.（20092宜昌调研）若实数x,y满足等式(x-2)+y=3，那么
1 22
2
22
y的最大值为 x （ ）
A. B.
3 3 C.
3 2 D.3
答案D
3.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=线l1,l3的方程.
解 （1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx中， 得k=-22，此时，直线方程为y=-x, 553x,求直4即2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为
yx?=1， 2aa将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-1， 2此时，直线方程为x+2y+1=0.
综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. （2）设直线l2的倾斜角为?,则tan?=
45?1, 3353. 4于是tan
?1?cos?==2sin?1?32tan?4?24, ?tan2?=271?tan?1?(3)242?所以所求直线l1的方程为y-6=即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=即24x-7y-150=0.
1(x-8), 324(x-8), 7
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