∵点M平分线段AB， ∴xA+xB=2xM，即解得k=-77+=0. 3k?1k?21，故所求直线方程为x+4y-4=0. 4方法二 设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点. ∵点B在直线l2:2x+y-8=0上，
故可设B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中点. 由中点坐标公式得A(-t,2t-6). ∵A点在直线l1:x-3y+10=0上， ∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.
∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0. 18.（12分）已知方程x+y-2x-4y+m=0. （1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m； （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程. 解 （1）（x-1)+(y-2)=5-m,∴m＜5. （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1=4-2y1，x2=4-2y2， 则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2 ∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0 ∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0 ??x?4?2y由?2 2?x?y?2x?4y?m?0?2
22
2
①
得5y-16y+m+8=0 ∴y1+y2=
168?m8,y1y2=,代入①得，m=. 5552
（3）以MN为直径的圆的方程为 （x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 即x+y-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0 ∴所求圆的方程为x+y-2
2
2
2
816x-y=0.
5519.（12分）A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台.从A市调一台
机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元.
（1）若从A、B两市各调x台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P（x）关于x的函数表达式，并求P（x）的最大值和最小值；
（2）若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值. 解 （1）机器调运方案如下表：
运 需 费 方 D E 供量 供 方 A B C 需量 200x 800(10-x) 10 300x 700(10-x) 10 400(18-2x) 500（2x-10） 8 18 10
总运费P（x）=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=17 200-800x， 又由0≤x≤10,0≤18-2x≤8,得定义域5≤x≤9， 所以P(x)max=P(5)=13 200(元）, P（x）min=P（9）=10 000（元）， （2）机器调运方案如下表： 运 需 费 方 D E 供量 供 方 A B C 需量 200x 800(10-x) 10 300y 700(10-y) 10 400(18-x-y) 500（x+y-10） 8 18 10 总运费P=200x+300y+400（18-x-y）+800（10-x）+700（10-y）+500（x+y-10）=17 200-100（5x+3y）， 其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18-x-y≤8.
在xOy平面内作出上述不等式的可行域（如图中阴影部分）.其中l1:x+y=18,l2:x+y=10.可见，当x=10,y=8时，Pmin=9 800;当x=0,y=10时，Pmax=14 200.
20.（12分）已知圆M：x+y-2mx-2ny+m-1=0与圆N：x+y+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程. 解 由圆M的方程知M（m，n）.又由方程组
?x2?y2?2mx?2ny?m2?1?0,2
得直线AB的方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m-1=0. ?22?x?y?2x?2y?2?0,2
2
2
2
2
又AB平分圆N的圆周，
所以圆N的圆心N（-1，-1）在直线AB上. ∴2（m+1）（-1）+2（n+1）（-1）-m-1=0. ∴m+2m+2n+5=0，即（m+1）=-2（n+2）.
2
2
2
2
（*）
∴（x+1）=-2（y+2）即为点M的轨迹方程.
又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即MN最小. d=（m?1）2?(n?1)2??2(n?2)?(n?1)2?n2?3. 由（*）可知n≤-2,∴d≥1. 即最小值为1,此时m=-1，n=-2， 故此时圆M的方程为(x+1)+(y+2)=5.
2
2
?11?21.（12分）将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中（如图所示）.已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P?,?
?24?是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？
解 由题意可知B（1，0），A（1，1）， kOP=
11，kPB=-， 22?11?∴kMN∈??，?，lAO：y=x；lAB：x=1.
?22?设lMN：y=kx+b，
?11?∵直线MN过P?,?
?24?∴b=
11?11??k，∴y=kx+??k?. 42?42??1?2k1?2k??k1?∴M?,?,N?1,??
?4?4k4?4k??24?S△AMN=
1?1k??1?2k?(3?2k)2, ???1???3?1?2?42??4?4k?32(1?k)?13?设t=1-k∈?,?.
?22?4t2?4t?1?13?S△AMN=在t∈?,?时，函数单调递增.
32t?22?∴当t=
311，即k=-时，S△AMN(max)=. 22322.（14分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA2PB取值范围.
解 （1）依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，即r=所以圆O的方程为x+y=4.
（2）不妨设A（x1,0）,B(x2,0),且x1＜x2,由x=4, 得A(-2,0),B(2,0).
设P（x,y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列， 得(x?2)2?y22(x?2)2?y2=x+y, 即x-y=2.
所以PA2PB=(-2-x,-y)2(2-x,-y) =x-4+y=2(y-1).
?x2?y2?4,由于点P在圆O内，故?2 2?x?y?2,2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
41?3=2.
由此得0≤y＜1.
所以PA2PB的取值范围为［-2，0）.
2
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