例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换
李进
山东省邹平县第一中学
计算一个电路的电阻，通常从欧姆定律出发，分析电路的串并联关系。实际电路中，电阻的联接千变万化，我们需要运用各种方法，通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串并联电路。本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。
1、等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。常用于由等值电阻组成的结构对称的电路。
【例题1】在图8-4甲所示的电路中，R1=R2=R3=R4=R5=R，试求A、B两端的等效电阻RAB。
模型分析：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用导线相连的点可以缩为一点。将图8-4甲图中的A、D缩为一点A后，成为图8-4乙图。
3答案：RAB=8R。
【例题2】在图8-5甲所示的电路中，R1=1Ω，R2=4Ω，R3=3Ω，R4=12Ω，R5=10Ω，试求A、B两端的等效电阻RAB。
模型分析：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：将A、B两端接入电源，并假设R5不存在，C、D两点的电势相等。
因此，将C、D缩为一点C后，电路等效为图8-5乙
RR对于图8-5的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足R=R1234的关系，该桥式电路平衡。 答案：RAB=15Ω。 4【例题3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R，试求A、B两点之间的等效电阻RAB。
【例题4】用导线连接成如图所示的框架，ABCD是正四面体，每段导线的电阻都是1?。求AB间的总电阻。
2、电流分布法
A C 设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络B 中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理）D ，建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压UAB，再由可求出等效电阻。
【例题1】7根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻
RAB?UABI即
B RAB。
【例题2】10根电阻均为r的电阻丝接成如
A 图所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻RAB。
【例题3】8根电阻均为r的电阻丝接成如图所示的网络，C、D之间是两根电阻丝并联而成，试求出A、B两点之间的等效电阻RAB。
电流叠加原理：直流电路中，任何一条支路
A 的电流都可以看成是由电路中各个电源分别作
用时，在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。
D C B 【例题4】“田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求A、B间等效电阻。
3、Y—△变换法
在某些复杂的电路中往往会遇21到电阻的Y型或△，如图所示，有时I1R2I2把Y型联接代换成等效的△型联接，R1O或把△型联接代换成等效的Y型联R3接，可使电路变为串、并联，从而简I33化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压U12、U23、U31及流过的
电流I1、I2、I3与△型联接的三个端纽相同。
⑴将Y型网络变换到△型电路中的变换式： ⑵将△型电路变换到Y型电路的变换式： 以上两套公式的记忆方法：
1I1R12R31I332I2R23B A △→Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。
Y→△：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。
当Y形联接的三个电阻相等时，与之等效的△形联接的三个电阻相等，且等于原来的三倍；同样，当△联接的三个电阻相等时，与之等效的Y形联接的三个电阻相等，且等于原来的1/3。
【例题1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻RAB。
提示：法一：“Δ→Y”变换；
法二：基尔霍夫定律
【例题2】试求如图所示电路中的电流I。（分别应用两种变换方式计算）
【课堂练习】分别求下图中AB、电阻。(答案：0.5R;RPQ=4Ω)
4、无限网络
若x?a?a?a?a??，（aI11?1?6?6?4V2?1?3?1?6?32CD间等效
＞0）
在求x值时，注意到x是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个a?对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为x?a?x，即x?x?a?0。所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是：无穷大和有限数的和仍为无穷大。
2⑴一维无限网络
【例题1】在图示无限网络中，每个电阻的阻值均为R，试求A、B两点间的电阻RAB。
解法一：在此模型中，我们可以将“并联一个R再串联一个R”作为电路的一级，总电路是这样无穷级的叠加。在图8-11乙图中，虚线部分右边可以看成原有无限网络，当它添加一级后，仍为无限网络，即
RAB∥R+R=RAB
解这个方程就得出了RAB的值。 答案：RAB=1?52R。
解法二：可以，在A端注入电流I后，设第一级的并联电阻分流为I1，
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