平面向量的数量积练习题 含答案

平面向量的数量积练习题

一、选择题

2

1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为 ( )

3

C．3 D．2

2

解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝×3＝2.

3

答案：D

2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )

A．1 B．2 C．3 D．5

解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.

答案：A

3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )

解析：|a－b|＝ （a－b）2＝ a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则

a·（a－b）22－13

cos θ＝＝＝，

|a||a－b|2×32

又θ∈[0，π]，所以θ＝

π

. 6

答案：A

4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( )

A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||

C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2

解析：根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．

答案：B

5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )

A．2 B．4 C．6 D．12

解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝

|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝

|a|2－2|a|－96＝－72，

所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.

答案：C

6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝( )

A．53 B．35 C．25 D．22

解析：因为a∥b，所以4＋2x＝0，

所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，

所以|a－b|＝35.

答案：B

7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则→AO·→BC的值是( )

A．－8 B．－1 C．1 D．8

[答案] D

1→→→→→[解析] 取BC的中点D，连接AD、OD，则有OD⊥BC，AD＝(AB＋AC)，BC＝AC－

2→AB，

1→AO·→BC＝(→AD＋→DO)·→BC＝→AD·→BC＋→DO·→BC＝→AD·→BC＝(→AB＋→AC)·(→AC－→AB)

2

11＝(→AC2－→AB2)＝×(52－32)＝8，选D． 22

8．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋k b．若b⊥c，则实数k的值等于( )

35

A．－ B．－

23

解析：c＝a＋k b＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，

3所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.

2

答案：A

9．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确

→

解析：AC＝(－1，－3)，AB＝(3，－1)．

→

→→

因为AC·AB＝－3＋3＝0，

所以AC⊥AB.

→→

又因为|AC|＝10，|AB|＝10，