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专题二 三角函数
第1讲 三角函数的图象与性质
一、选择题
?π?
1．(2016·四川卷)为了得到函数y＝sin?2x－3?的图象，只需把函数
??
y＝sin 2x的图象上所有的点( )
π
A．向左平行移动个单位长度
3π
B．向右平行移动个单位长度
3π
C．向左平行移动个单位长度
6π
D．向右平行移动个单位长度
6
?π??π?????2x－x－解析：∵y＝sin3?＝sin 2?6?， ?
π
∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝
6
?π?
sin?2x－3?的图象． ?
?
答案：D
2．若函数f(x)＝sin ax＋3cos ax(a>0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为( )
π
A．－
3
?2?C.?3，0? ??
2
B. 3D．(0，0)
?π?2π??解析：f(x)＝2sinax＋3，∵T＝＝2，∴a＝π.
a??
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?π?2??∴f(x)＝2sinπx＋3，∴当x＝时，f(x)＝0.
3??
答案：B
?π?1
3．把函数y＝sin?x＋6?图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标
2??
π
不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为
3( )
π
A．x＝－
2π
C．x＝
8
π
B． x＝－ 4π
D．x＝
4
π?π????π??????x－＋＝sin2x－2?＝－cos 2x，验证解析：由题意知y＝sin23?6?????π
可知x＝－是所得图象的一条对称轴．
2
答案：A
?π??π???4．(2016·北京卷)将函数y＝sin2x－3图象上的点P?4，t?向左平移????
s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
1π
A．t＝，s的最小值为
26B．t＝
3π，s的最小值为 26
1π
C．t＝，s的最小值为
233π
D．t＝，s的最小值为
23
?π??π?
???解析：∵点P4，t在函数y＝sin2x－3?的图象上，∴t＝????
?ππ??π1?π1
???，?2×－sin43?＝sin6＝2.∴P?42?.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得??π1???－s，P′42?. ?
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?π?11??∵P′在函数y＝sin 2x的图象上，∴sin 24－s＝，即cos 2s＝，
2??2
π5
∴2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，
33
π5ππ
即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，∴s的最小值为.
666答案：A
5．(2016·山西临汾一中3月模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋
?π?
φ)?ω>0，|φ|<2?的图象如图所示，则函数y＝f(x)＋ω的图象的对称中心??
坐标为( )
?2π3?
?A.3kπ＋24，2?(k∈Z) ???3π2??B.3kπ－8，3?(k∈Z) ???15π3??kπ＋，?(k∈Z) C.282???33π2??kπ－，?D.283?(k∈Z) ?
2πT15π3π3解析：由题图可知＝－＝π，∴T＝3π，又T＝＝3π，∴
ω2882223ππ
ω＝，又×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
3382
?2π?πππ
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin?3x＋4?，
424??
2π33π
由x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，则y＝f(x)＋ω的图象的3428
?33π2?
对称中心坐标为?2kπ－8，3?(k∈Z)．
??
答案：D
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二、填空题
π
6．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的
6
?π??对称中心完全相同，若x∈0，2?，则f(x)的取值范围是________． ??
解析：由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周
?π??π?π
????期相同，故ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－6，那么当x∈0，2时，－≤2x
6????
π5π
－≤， 66
?π??3?1
???∴－≤sin2x－6≤1，故f(x)∈－2，3?. 2?????3??答案：－2，3? ??
7．(2016·江苏卷)定义在区间0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
2π
解析：法一：函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，y＝cos x的最
2小正周期为2π，在同一坐标系内画出两个函数在0，3π]上的图象，如图所示．
通过观察图象可知，在区间0，3π]上两个函数图象的交点个数是7.
??y＝sin 2x，
法二：联立两曲线方程，得?两曲线交点个数即为方程
?y＝cos x，?
组解的个数，也就是方程sin 2x＝cos x解的个数．方程可化为2sin xcos x＝cos x，即cos x(2sin x－1)＝0，
1
∴cos x＝0或sin x＝.
2
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