知能自主梳理
1.等差数列的前n项和公式
若数列｛an｝是等差数列，首项为a1,公差为d,则前n项和Sn= 2.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列｛an｝的前k项和为Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?成公差为 （2）等差数列｛an｝的前n项和为Sn,则｛［答案］ 1.
= . 的等差数列.
Sn｝也是 n .
n(a1?an)n(n?1) na1+d 222.(1)k2d (2)等差数列
思路方法技巧
命题方向 有关等差数列的基本量的运算
［例1］ 已知等差数列{an}中， （1）a1=
31,d=-,Sn=-15,求n和an; （2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d. 22［分析］ a1,d,n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个基
本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.
［说明］ 等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用. 变式应用1 在等差数列｛an｝中，
（1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8; （2）已知a3+a15=40,求S17.
命题方向 等差数列前n项和的性质
［例2］ 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. ［分析］ 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d,即可求出S110,或利用等差数列前n项和的性质求解.
变式应用2 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sm=70，S2m=110,则S3m＝ . 命题方向 等差数列前n项和的最值问题
［例3］ 已知数列{an｝是等差数列，a1=50,d=-0.6.
(1)从第几项开始有an<0; (2)求此数列的前n项和的最大值.
［分析］ 对于（1）实质上是解一个不等式，但要注意n∈N＋；对于（2）实际上是研究Sn随n的变化规律，由于等差数列中Sn是关于n的二次函数，所以可以用二次函数的方法
1
处理，也可以由an的变化推测Sn的变化.
变式应用3 在等差数列{an｝中，a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
［例5］ 已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为Sn、Tn，且
7n?1Sn＝ (n4n?27Tn∈N+),求
a11. b11
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等差数列｛an｝中，已知a2=2,a8=10,则前9项和S9＝（ ）
A.45 B.52 C.108 D.54
2.数列｛an｝是等差数列，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前20项和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=
1，S4=20，则S6=（ ） 2A.16 B.24 C.36 D.48 二、填空题
4.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n= .
5.等差数列｛an｝中，S11=2013，则a6= .
三、解答题
6.在等差数列｛an｝中：已知S7=42,Sn=510，an-3=45,求n. .
课后强化作业
一、选择题
1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10=（ ） A.138 B.135 C.95 D.23
2
.
2.在等差数列{an}中，a2+4a7+a12=100,则2a3+a15等于（ ）
A.20 B.100 C.25 D.50
3.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为 （ ）
A.24 B.26 C.25 D.28
4.(2011·江西文，5)设{an}为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=（ ） A．18 B．20 C．22 D．24
5.已知等差数列{an}中，a4=9,a7=3,则数列{an}前n项和的最大值为（ ） A.8 B.24 C.45 D.64
6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
7.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
8.等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=（ ） A.38 B.20 C.10 D.9
二、填空题
9.在等差数列{an}中，a1＞0,d=
112,an=3,Sn=,则a1= 25 ,n= .
10.(2011·广东理，11)等差数列｛an｝前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= .
11.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2（n∈N+），则an= ,此时Sn与nan的大小关系是 .
12.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4=1,S5=10,当Sn取最大值时，n的值为 .
三、解答题
13.设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50. （1）求通项an;（2)若Sn=242，求n.
14.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6=36，Sn=324,若Sn-6=144(n>6),求数列的项数n.
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15.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
（1）甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？
16.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,?,S12中哪一个值最大，并说明理由.
第4课时 等差数列的综合应用
an与Sn的关系
如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列也随之确定：a1=S1,a2=S2-S1，a3=S3-S2，?，其通项公式如下： S1 (n=1)
an= ，利用这一公式应当注意：
Sn-Sn-1 (n≥2) 检验n=1时，a1=S1是否符合an=Sn-Sn-1 (n≥2)的形式.如果符合，则可将a1=S1合并到an=Sn-Sn-1（n≥2）中；如果不符合，则必须采用分段函数的形式来表示，不能直接用an=Sn-Sn-1. 注意：
已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an=Sn-Sn-1 (n≥2)，这里常常因为忽略了条件n≥2而出错.即由an=Sn-Sn-1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n=1时，Sn-1=S0，而与前n项和的定义矛盾.可见由此求得的an不一定就是它的通项公式，必须验证n=1时是否也成立.
知能自主梳理
1.等差数列前n项和的二次函数形式 等差数列的前n项和Sn＝na1+
n(n?1)ddd可以改写成：Sn＝n2+(a1-)n.当 d≠0时，Sn是222
函数的有关性质来处理等差数列前
关于n的 函数，所以可借助
n项和Sn的有关问题.
2.等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0,d<0.则Sn存在最 值.
值；a1<0,d>0，则Sn存在最
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