2019年整理《步步高学案导学设计》-2014学年高中数学人教b版选修1-1利用导数研究函数的极值

3.3.2 利用导数研究函数的极值(一)

一、基础过关

1. 函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有

( )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

( )

2．下列关于函数的极值的说法正确的是 A．导数值为0的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数 3．函数y＝x3－3x2－9x(－2

4．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则 A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0 B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0 C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0 D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0

x2＋a

5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.

x＋1

6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________． 7．求下列函数的极值：

( )

( )

x3－2

(1)f(x)＝；

2?x－1?2(2)f(x)＝x2ex. 二、能力提升

8．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2

B．3

C．6

D．9

( )

9．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是 A．1

B．14或a<1

－

10. 如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

1

－3，－?内单调递增； ①函数y＝f(x)在区间?2??1

－，3?内单调递减； ②函数y＝f(x)在区间??2?③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；

1

⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．

2

则上述判断正确的是________．(填序号)

15

11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．

2212．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； 2

(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．

3

答案

1．A 2．D 3．C 4．C 5．3 6．9

7．解 (1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．

?x－2?2?x＋1?

∵f′(x)＝，

2?x－1?3令f′(x)＝0， 得x1＝－1，x2＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表： x －1) 1) 2) ＋∞) f′(x) f(x) (－∞， －1 1 2 ＋ (－1， (1， (2， 0 3－ 8 － ＋ 0 3 ＋ 故当x＝－1时，函数有极大值， 3

并且极大值为f(－1)＝－. 8(2)函数的定义域为R，

?1x?′ f′(x)＝2xe－x＋x2·?e?＝2xe－x－x2e－x ＝x(2－x)e－x，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表： x 0) 2) ＋∞) f′(x) f(x) (－∞， 0 2 － (0， (2， 0 0 ＋ 0 4e－2 － 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0； 当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2. 8．D [f′(x)＝12x2－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值，

∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.

又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab， ∴2ab≤6，

∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立， ∴ab的最大值为9.] 9．B 10．③

11．解 ∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，

2

令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表： x －m) 2m) 3＋∞) f′(x) f(x) (－∞， －m 2m 3 ＋ (－m， 2(m， 3 0 － 0 极小值 ＋ 极大值 15∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，

22∴m＝1.

12．解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1. 1

令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表： x 1－) 31) ＋∞) f′(x) f(x) (－∞， 1－ 31 ＋ 1(－， 3(1， 0 极大值 － 0 极小值 ＋ 15所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，

327极小值是f(1)＝a－1.

(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时， 有f(x)>0，x取足够小的负数时， 有f(x)<0，

所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．

15

由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.

327∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，

∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 5

即＋a<0或a－1>0， 27

5

∴a<－或a>1，

27

5

∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．

2713．解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]·ex.

2

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠知，－2a≠a－2.

3以下分两种情况讨论：

2

①若a>，则－2a

3x －2a) a－2) ＋∞) F′(x) f(x) (－∞， －2a a－2 ＋ (－2a， (a－2， 0 极大值 － 0 极小值 ＋ 所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数． 函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

2

②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：

3x a－2) －2a) ＋∞) F′(x) f(x) (－∞， a－2 －2a ＋ (a－2， (－2a， 0 极大值 － 0 极小值 ＋ 所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数． 函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.