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因式分解
序号 公式 记忆特征 (1) 常数项两数积 (2) 一次项系数两数和 (3) 二次项系数为1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) 1 （十字相乘法） a2-b2 = (a-b)(a+b) 2 （平方差公式） a2+2ab+b2 = (a+b)2 3 a2-2ab+b2 = (a-b)2 （完全平方公式） a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2 4 （完全平方公式扩展） a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3 5 a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3 （完全立方公式） a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) 6 33a-b = (a-b)(a2+ab+b2) 7 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) (1) 三数平方和 (2) 两两积的2倍 对照完全平方公式相互加强记忆 (1) 近似完全平方公式 (2) 缺项之完全立方公式 (a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b) (a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b) 对照公式4相互加强记忆 短差长和； a指数逐项递减1； b指数逐项递增1； 长式每项指数和恒等于 n-1。 短式变加长式加减相间； a指数逐项递减1； b指数逐项递增1； 每项符号b指数决定偶加奇减。 (1) an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1) n=整数 (2) 8 （平方差公式扩展） (3) (4) (1) an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1) n=偶数 (2) 9 （立方差公式扩展） (3) (4) an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1) n=奇数 10 对比公式9的异同 （立方和公式扩展） 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
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=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3
≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． ※※变式练习
1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解． 解 因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
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例3 分解因式：x3-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． ※※变式练习 1分解因式： (1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9+x6+x3-1-1-1
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=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2． 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4 =［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1) =［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰． 例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x2+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
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=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例5 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合． 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90． 令y=2x+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9)
=(2x+5x+12)(2x+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础． ※※变式练习 1.分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 设x+4x+8=y，则
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式． 1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式
(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，
于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
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