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高中数学必修2同步练习 第2章 2.2.3

来源:用户分享 时间:2025/6/13 6:14:45 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
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2.2.3 直线与平面平行的性质

【课时目标】 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理.2.能运用直线与平面平行的性质定理,证明一些空间线面平行关系的简单问题.

直线与平面平行的性质定理:

一条直线与一个平面平行,则_____________________________________. (1)符号语言描述:________________. (2)性质定理的作用:

可以作为________________平行的判定方法,也提供了一种作________的方法.

一、选择题 1.a,b是两条异面直线,P是空间一点,过P作平面与a,b都平行,这样的平面( ) A.只有一个 B.至多有两个 C.不一定有 D.有无数个

2.两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交

C.异面 D.以上均可能 3.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )

A.AC⊥BD

B.AC∥截面PQMN C.AC=BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°

4.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是( )

A.平行 B.相交

C.异面 D.平行和异面 5.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有

6.如图所示,平面α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列说法正确的是( )

A.l1平行于l3,且l2平行于l3 B.l1平行于l3,且l2不平行于l3 C.l1不平行于l3,且l2不平行于l3 D.l1不平行于l3,但l2平行于l3 二、填空题

7.设M、n是平面α外的两条直线,给出三个论断:

①M∥n;②M∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示)

8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、

a

B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,

3

Q在CD上,则PQ=________.

9.已知(如图)A、B、C、D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是______.

三、解答题

10.ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,

求证:AP∥GH.

11.如图所示,三棱锥A—BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH. 求证:CD∥平面EFGH.

能力提升

12.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=M,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=______.

13.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.

(1)求证:BC∥l;

(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.

直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用,也就是通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出新的线线平行,复杂的题目还可继续推下去.可有如下示意图:

线线在平面内作线面

――→

平行或找一直线平行

――→面与平面相交的交线

经过直线作或找平

线线

. 平行

2.2.3 直线与平面平行的性质 答案

知识梳理

过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (1)

a∥α

??

a?β??a∥b (2)直线和直线 平行线 β∩α=b??

作业设计 1.C 2.D

3.C [∵截面PQMN为正方形, ∴PQ∥MN,PQ∥面DAC.

又∵面ABC∩面ADC=AC,PQ?面ABC,∴PQ∥AC, 同理可证QM∥BD.故有选项A、B、D正确,C错误.] 4.A [∵E、F分别是AA1、BB1的中点,∴EF∥AB. 又AB?平面EFGH,EF?平面EFGH, ∴AB∥平面EFGH.

又AB?平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH, ∴AB∥GH.]

5.B [设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交,设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.]

6.A [∵l1∥l2,l2?γ,l1?γ, ∴l1∥γ.

又l1?β,β∩γ=l3, ∴l1∥l3

∴l1∥l3∥l2.]

7.①②?③(或①③?②)

解析 设过M的平面β与α交于l. ∵M∥α,∴M∥l,∵M∥n,∴n∥l, ∵n?α,l?α,∴n∥α. 228.a

3

解析 ∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,

2a

∴MN∥PQ,易知DP=DQ=,

322a故PQ=PD2+DQ2=2DP=.

3

9.平行四边形

解析 平面ADC∩α=EF,且CD∥α, 得EF∥CD;

同理可证GH∥CD,EG∥AB,FH∥AB. ∴GH∥EF,EG∥FH.

∴四边形EFGH是平行四边形.

10.证明 如图所示,连接AC交BD于O,连接MO, ∵ABCD是平行四边形,

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