习题及参考答案
第四章 振动学基础
参考答案
思考题
4-1什么是简谐振动？试分析以下几种运动是否是简谐振动？ (1)拍皮球时球的运动；
(2)一小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动；
（3）一质点分别作匀速圆周运动和匀加速圆周运动，它在直径上的投影点的运动。 4-2如果把一弹簧振子和一个单摆拿到月球上去，振动的周期如何改变？
4-3什么是振动的相位？一个弹簧振子由正向最大位移开始运动，这时它的相位是多少？经过中点，到达负向最大位移，再回到中点向正向运动，上述各处相应的相位各是多少？
4-4一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为（ ）
(A)12s； (B)10s；
xAo?1A2(C)14s； (D)1 1s。
5t(s)4-5一个质点作简谐振动，振幅为A， 在起始时刻质点的位移为 A/2,且向x轴的 正方向运动；代表此简谐振动的雄转矢量 图为（ ）
4-6一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初
思考题4-4图
位相应为（ ）
(A)π／6；（B） 5π/6；（C）-5π/6；（D）-π／6；
?A(A)ox(B)o1A2v(m/s)x1A2A?vm1vm2oxt(s)?(C)A1?A2ox(D)1?A2oA?思考题4-5图
思考题4-6图
4-7把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ,然后由静止放手任其振从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为（ ）
(A)θ； (B) π； （C）0； （D π/2。
4-8如图所示，质量为m的物体由倔强系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动,则系统的振动频率为（）
（A）
ν?2?k1?k21ν?m（B）2?1k1?k2ν?2?mk1k2（D）
k1?k2m
k1k2m?k1?k2?k1mk2ν?（C）
12? 4-9一倔强系数为k的轻弹簧截成三等分，取出其中
思考题4-8图
的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为（ ）
1(A)2?1(C)2?mk1m (B)2?3k1m (D)2?6km k3m k4-10一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1， 如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的 质量增为原来的四倍，则它的总能量E1变为（ ）
(A) E1/4; (B) E1/2； (C)2E1; (D) 4 E1。 4-11一质点作简谐振动，周期为T。当它由平衡位置向x
思考题4-9图
轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程中所需要的时间为（ ）
(A)T/4； (B)T/12； (C)T/6; (D)T/8。
4-12一长为l，倔强系数为k的均匀轻弹簧分割成长度分别为l1和l2,的两部分，且 l1=n l2，n为整数，则相应的倔强系数k1和k2为（ ）
(A)
k1?kn,k2?k?n?1?n?1
(B)
k1?k1?k1?k?n?1?nk?n?1?n,k2?kn?1
(C)(D)
,k2?k?n?1?knk,k2?n?1n?1
习题
2??x?0.1cos?8t?????33??(SI) 4-1质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按
的规律作振动。求:
(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度； (2)t=1s，2s，5s，10s等各时刻的相位；
(3)分别画出该振动的x-t图线、v-t图线和a-t图线。
4-2有一轻弹簧，当下端挂一个质量ml=l0g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm，用这个弹簧和质量m2=16g.的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向，将
m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度v0＝5cm/s并开始计时，试求 m2的振动周期和振动的数值表达式。
1??1x?0.24cos??t???3?(SI) ?24-3一质点作简谐振动，其振动方程为
试用旋转矢量法求出质点由初始状态 (t=0的状态)运动到x=-0.12m,v<0的状态 所需最短时间?t。
4-4一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg，待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：
（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？两者在何位置开始分离？
4-5一物体放置在平板上，此板沿水平方向作谐振动。已知振动频率为2Hz，物体与板面最大静摩擦系数为0.5。问：要使物体在板上不发生滑动，最大振幅是多少？
4-6一台摆钟的等效摆长l=0.995m，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天慢2分10秒，若将此摆当作质量集中在摆锤中心的单摆来估算，则应将摆锤向上移动多少距离，才能使钟走得准确？
4-7一弹簧振子沿x轴作简谐振动，已知振动物体最大位移为xm= 0.4m，最大恢复力为Fm=0.8N，最大速度为vm?0.8π m/s，又知t=0的初位移为＋0.2m。且初速度与所选x轴方向相反。
(1)求振动能量； （2）求此振动的表达式。
4-8已知两个在同一直线上的简谐振动的振动方程分别为
3??x1?0.05cos?10t???5? (SI) ?m1??x2?0.06cos?10t???5? (SI) ?（1）求它们合成振动的振幅和初相； (2)另有一同方向的简谐振动
x3?0.07cos?10t???(SI) 。问?为何值时，x+x的振幅为
13
习题4-9图
最大？?为何值时x2+x3的振幅最小？(3)用旋转矢量图示法表示（1）、(2)两小题的结果。
4-9一定滑轮的半径为R,转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。
4-10边长l = 0.l0m，密度ρ=900kg·m-3的正方形木块浮在水面上。今把木块恰好完全压人水中，然后从静止状态放手。假如不计水对木块的阻力，并设木块运动时不转动。
（l）木块将作什么运动
(2)求木块质心（重心）运动规律的数值表达式。（水的密度ρ’=1000kg?m-3并取竖直向上方向为x轴的正方向）
第四章 振动学基础
参考答案
思考题
4-1答：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或者角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。
也可从动力学角度来说明：凡是物体所受合外力（或合外力矩）与位移（或角位移）成正比而方向相反，则物体作简谐振动。
（1）不是简谐振动。从受力角度看，它受到地面的作用力，虽然是弹性力，但这外力只是作用一瞬间，而后就只在重力作用下运动。从运动规律来看，虽然是作往复运动，但位移时间关系并不是余弦（正弦）函数，而是作匀变速运动。
（2）是简谐振动。当小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动，若其角位移
??50，sin??d2?g????0?2?dtR?，则其运动方程满足微分方程??，所以是简谐振动。
（3）作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作x轴）上投影点对圆心o的位移随时间t变化规律遵从余弦函数，若设圆周半径为A，角速度为ω，以圆心为坐标原点，质点的矢径经过与x轴夹角为?的位置开始计时，则在任意时刻t，此矢径与x轴的夹角为??t???，而质点在x轴上的投影的坐标为x?Acos??t???，这正与简谐振动的运动方程相同。可见，作匀速圆周运动的质点在直径上的投影点的运动是简谐振动。
质点作匀加速圆周运动，在直径上的投影x不是等周期性变化的，而是随着时间变化的越来越快，所以其投影点的运动不是谐振的。
4-2 答：在月球上，弹簧振子的振动周期不变，仍为
T?2πmk，但单摆的周期要改变，
T地?2π即
llT月?2π?g地g月,g地T?6T地g月地
4-3答：相位是反映质点振动状态的物理量，其值为??t???，一个弹簧振子正向最大位
π移开始运动时的相位为零；经过中点时的相位为2；达到负向最大位移时的相位为π；再回3ππ?到中点向正向运动时的相位为2（或2）。
4-4答：（A）。 4-5答：（B）。 4-6答：（C）。
4-7答：（C）。 4-8答：（B）。
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