4-9答:(B)。 4-10答:(D)。 4-11答:(C)。 4-12答:(C)。
习题
2??x?0.1cos?8πt?π?3? ?4-1解:(1)
与振动方程的标准形式x?Acos??t???相比可知:
-1角频率 ??8π rads;初周相
??2π3;振幅 A?0.1m. 2πx,v,aav可求得
xT???0.25s
-1v??A?8π?0.1=2.5msmax最大速度
ot22-2a??A?64π?0.1?63.2ms最大加速度max
(2)相位为??t???
习题4-1解图
将t?1,2,5,10s代入,则相位分别为
22228π,16π,40π,80π3333。
(3)该振动的x?t图,v?t图和a?t图如图所示。 4-2解:设弹簧的原长为l,悬挂m1后伸长?l,则
k?l?m1g , k?m1g?l?2Nm
取下m1挂上m2后,
??km2?1.2rads
T?2π??0.56s
?2t?0时 x0??2?10?Acos?
v0?5?10?2???Asin?
解得
A?x02??v0???2.05?10?2m2
?10??tg?v?x?12.6??00 00??180?12.6或 0??192.6?3.36rad 应取
t?AAt=0也可写成 ???2.92rad
??/3x?2.05?10cos?1.2t?2.92?
振动的表达式为
?2?/30.120.24x(m)-0.24-0.12o习题4-3解图
4-3解:旋转矢量如图所示。由振动方程可得
??π11???π2 , 3
?t?????0.667s
4-4解:(1)小物体受力如图所示。 设小物体随振动物体的加速度为a, 按牛顿第二定律有(取向下为正)
mg?N?ma
NN?m?g?a?
当N?0,即时a?g,小物体开始脱离振动物体,已知
-1A?10cm ??Km?50rads
2-2系统的最大加速度为amax??A?5m?s,此值小于g,故小物体不会离开。
mg(2) 如使amax?g,小物体能脱离振动物体,开始分离的位置由N?0求得
习题4-4解图
g?amax???2x
x??g?2??19.6cm
即在平衡位置上方19.6cm处开始分离,由amax??A?g, 可得 A?g2?2?19.6cm
2a??A,所以,物体随板一起振动所需力为 max4-5解:因为
F?mamax?m?2A?4π2?2mAmax
此力由板对物的静摩擦力提供,此力的最大值为
fs??N??mg
物体在板上不发生滑动的条件是fs?F,即
?mg?4π2?2mA
?g0.5?9.8Amax?22?22?3.1?10?2m4π?4π?2
4-6解:钟摆周期的相对误差?TT等于钟的相对误差?tt,等效单摆的周期
T?2πlg 设重力加速度g不变,则有 2dTT?dll
令?T?dT,?l?dl并考虑到?TT??tt,则有钟摆向上移动的距离
?l?2l?tt?2.99mm
钟摆应向上移2.99mm,才能使钟走得准确。 4-7解:(1)由题意
Fm?kA , A?xm, k?Fmxm
121kxm?Fmxm?0.16J22
(2)vm?A?, ??vmA?vmxm?2?,
E???2πrads,v??2π?1Hz
t?0, x0?Acos??0.2
1??πv0??A?sin??0,3
1??x?0.4cos?2πt+π?3? ?振动方程为
4-8解:(1)
2A?A12?A2?2A1A2cos?????0.0892m
AA3A1A2tg??A1sin?1?A2sin?2?2.50A1cos?1?A2cos?2
??1.19rad
(2)当???1??2Kπ时,x1与x3的合成 振幅最大为0.12m。
?xA33????2Kπ+π5
当???2???2K?1?π时,与的合成振幅最小为0.01m 。
习题4-8解图
1?????2K?1?π+π5
(3)用旋转矢量图表示(1),(2)两小题结果如图所示。
4-9解:如图所示,取x坐标,平衡位置为原点o,向下为正,m在平衡位置已伸长x0,
mg?kx0
设m在位置x时有 T2?k?x?x0? (因为弹簧伸长x?x0) 由牛顿第二定律和转动定律列方程
mg?T1?ma T1R?T2R?J?
a?R?
Na?联立解得
?kx?JR2??m
k?2?JR??mkRJ?mR22mgT2MgT1mx0ox由于x系数为一负常数,故物体作简谐振动,其角频率为
习题4-9解图
?? 4-10解:如图(a)所示,设木块平衡时露出水平面的高度为a,浸入水中的深度为b?l?a。 (1)选水面上一点o为原点,向上为x轴
正方向,此时木块本身的重力等于水对木块
xxabb-xx? gb的浮力,即 Sl?g?S?2(S为木块的截面积,S?l)。则有
lool??b??,b?l????0.09m
a?l?b?0.01m
当木块上移x,如图(b)所示,则木块
(a)(b)?所受的浮力为:S?b?x??g。重力仍为Sl?g,合力
习题4-10解图
为?S??gx,根据牛顿第二定律,有
S??gx?md2xd2?xdt2,dt2??S??gm?x?0
d2x将m?S?l代入上式得 dt2????g?l?x?0
d2x令?2, 得dt??20???g?l20x?0,所以木块作简谐振动。
(2)木块的运动方程x?Acos??0t???
v=??A?0sin??0t???
t?0时 x0??a??0.01m, v0?0
由此得 A?0.01m, ??π
?120????g?g??gb?10.4rads
?x?0.01cos?10.4t?π? (SI)
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