五、证明或解答：
（数理逻辑、集合论与二元关系部分）
1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言：
(1) ?x?y（xy=1）; (2) ?x?y(xy=1); (3) ?x?y (xy=0); (4) ?x?y（xy=0）; (5) ?x?y (xy=x); (6) ?x?y（xy=x）; (7) ?x?y?z (x-y=z)
答：
（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1; （3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0; （4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1; （5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x; （6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x; （7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
2、设A(x,y,z): x+y=z, M（x,y,z）: xy=z, L(x,y): x
答：
（1）?x（G(x,0)?M（0,0,x）） 或??x L(x,0) （2）?x?y?z ((L(x,y)?L(y,z))?L(x,z))
（3）?x?y ((L(x,y)??z(L(z,0)?G(xz,yz))) （4）?x?yM（x,y,y） （5）?x?yA(x,y,x)
3、列出下列二元关系的所有元素：
（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={
（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={
解：
(1) R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>} (2) R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}; (3) R={<1,1>,<1,-1>,<2,-2>,<3,-3>}。
4、对任意集合A,B，证明：若A?A=B?B，则B=B。
证明：
若B=?，则B?B=?。从而A?A =?。故A=?。从而B=A。
若B??，则B?B??。从而A?A??。
对?x?B,
故B?A。
同理可证，A?B。 故B=A。
5、对任意集合A,B，证明：若A??，A?B=A?C，则B=C。
证明：
若B=?，则A?B=?。从而A?C =?。因为A??，所以C=?。即B=C。
若B??，则A?B??。从而A?C??。
对?x?B,因为A??，所以存在y?A, 使
同理可证，C?B。 故B=C。
6、设A={a,b}, B={c}。求下列集合：
(1) A?{0,1}?B； (2) B2?A； (3) (A?B)2; (4) P(A)?A。
解：
（1） A?{0,1}?B={
（3） (A?B)2={
,
7、设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合：
（1）A?B?C； （2）A?B?C；（3）(A?B)?C; （4）P(A)-P(B); （5）(A-B)?(B-C); （6）(A?B)?C;
解 ：
(1) A?B?C={a}; (2) A?B?C={a,b,c,d,e}; (3) （A?B）?C={b,d}; (4) P(A)-P(B)={{d},{a,d}}; (5) (A-B)?(B-C)={d,c,a}; (6) (A?B) ?C={b,d}。
8、设A,B,C是任意集合，证明或否定下列断言： （1）若A?B，且B?C，则A?C； （2）若A?B，且B?C，则A?C; （3）若A?B，且B?C，则A?C； （4）若A?B，且B?C，则A?C；
证明：
(1) 成立。
对?x?A, 因为A?B，所以x?B。又因为B?C，所以x?C。即A?C。 (2) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。
(3) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。虽然A?B，且B?C，但A?C。
(4) 成立。因为A?B, 且B?C，所以A?C。
9、A上的任一良序关系一定是A上的全序关系。
证明：
b∈A，则{a,b}是A的一个非空子集。?a，?≤是A上的良序关系，?{a,b}有最小元。若最小元为a，则a≤b；否则b≤a。从而≤为A上的的全序关系。
10、若R和S都是非空集A上的等价关系，则R?S是A上的等价关系。
证明：
因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故xR?Sx。?a∈A，
从而R?S是自反的。
?a,b∈A，aR?Sb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故bR?Sa。从而R?S是对称的。
?a,b,c∈A，aR?Sb且bR?Sc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故aR?Sc。从而R?S是传递的。
故R?S是A上的等价关系。
11、设R?A×A，则R自反 ?IA?R。
证明：
??x?A，?R是自反的，?xRx。即
相关推荐：
loading