市2018届高三年级第三次模拟考试
数 学 2018.05
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．集合A＝{x| x2＋x－6＝0}，B＝{x| x2－4＝0}，则A∪B=________▲．
2．已知复数z的共轭复数是－z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则－z的模为________▲．
3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为________▲．
(第3题图)
S←1 I←1 While I＜8 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S (第4题图) 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为________▲．
5．已知A，B，C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为________▲．
??x－y－3≤0，y
6．若实数x，y满足?x＋2y－5≥0，则x的取值围为________▲．
??y－2≤0，
7. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l⊥α，l⊥β，则α∥β； ②若l⊥α，α⊥β，则l∥β； ③若l∥α，l⊥β，则α⊥β； ④若l∥α，α⊥β，则l⊥β． 其中真命题为________▲（填所有真命题的序号）．
x2y2
8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的
ab离心率为________▲．
9．若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，则a7的值为________▲．
2??x＋x＋a，0≤x≤2，10．若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)＝?则f(a+1)的值为________▲．
?－6x＋18，2＜x≤3，?
11．在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，
以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为________▲．
2→→→→→→12．在△ABC中，AB=3，AC=2，D为边BC上一点．若AB·AD＝5， AC·AD＝－3，则AB·AC的值为________▲．
cb
13．若正数a，b，c成等差数列，则＋的最小值为________▲．
2a＋ba＋2c
14．已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[－3e，－e2]，使得函数f (x)＝ex－ax－b在[1，3]上存在零点，
则a的取值围为________▲．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的
指定区域） 15．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别2733为P，Q．已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为．
714（1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝6，其余棱长均为2，M是棱PC上的一点，D，E分别为棱AB，BC的中点． （1）求证: 平面PBC⊥平面ABC； （2）若PD∥平面AEM，求PM的长．
17．(本小题满分14分)
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧⌒BC组成，其中AC为2百米，AC⊥
A D B (第16题图)
E C P M (第15题图)
O y P Q x π
BC，∠A为3．若在半圆弧⌒BC，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥ππAB，DF∥AC. 记∠CBD＝θ（≤θ＜）．
32（1）试用θ表示BD的长；
（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.
18．(本小题满分16分)
x2y28332
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点P(5，5)，离心率为2. 已知过点M(5，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）求椭圆C的方程；
→→（2）试问x轴上是否存在定点N，使得NA·NB为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
O M x y A
19．(本小题满分16分)
已知函数f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数． （1）若f (x)的极大值为0，数a的值；
B (第18题图)
（2）若函数g (x)＝f (x)＋6x，求g (x)在[0，1]上取到最大值时x的值；
aa+2
（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[，]上有解，求满足条件的正整数a的集合．
22
20．(本小题满分16分)
若数列{an}满足：对于任意n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“T 数列”． （1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列{an}为“T 数列”； （2）若公差为d的等差数列{an}为“T 数列”，求d的取值围；
22
（3）若数列{an}为“T 数列”，a1＝1，且对于任意n∈N*，均有an＜an＋1－an＜an＋1，求数列{an}的通项公式．
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数学附加题 2018.05
B．选修4—2：矩阵与变换
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