111
1＋＋＋…＋＞2，
231511151＋＋＋…＋＞，
23312
…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．
111n*
答案 猜想：第n个不等式为1＋＋＋…＋n＞(n∈N)．
232－121
(1)当n＝1时，1＞，猜想正确．
2
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N)时猜想正确， 111k即1＋＋＋…＋k＞，
232－12那么，当n＝k＋1时，
111111k111k111k21＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1＞＋k＋k＋…＋k＋1＞＋k＋1＋k＋1＋…＋k＋1＝＋k＋1
232－122＋12－1222＋12－1222222k1k＋1＝＋＝. 222
即当n＝k＋1时，不等式成立． ∴对于任意n∈N，不等式恒成立． 重难点突破
【例5】 在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：
1115
＋＋…＋＜. a1＋b1a2＋b2an＋bn12
2
*
*
k
*
证明： (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，an＋1＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1). 用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N)时，结论成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)，
ak＋12
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)，
bk
2
2
2*
2
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝ (n＋1)对一切正整数都成立． (2)证明：
115
＝＜. a1＋b1612
2
n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故
111
＋＋…＋ a1＋b1a2＋b2an＋bn
1
＋
111?1＋＋…＋＜＋?
62?2×33×4
? ??
11?11?1111
＝＋?－＋－＋…＋－
nn＋1?62?2334?1?11511?1
＝＋?－?＜＋＝.[: 62?2n＋1?6412综上，原不等式成立． 巩固提高
1.用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )[: A. 2 C. 5 答案：C 2. 如果
A. p(n)对所有正整数n都成立
B. p(n)对所有正偶数n都成立 C. p(n)对所有正奇数n都成立 D. p(n)对所有自然数n都成立 答案：B
解析：由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立， 则p(n)对所有正偶数都成立．故选B. 3.某个与正整数n有关的 A. n＝4时该 B. n＝6时该 C. n＝4时该 D. n＝6时该 答案：C
解析：因为“当n＝k(k∈N，k≥1)时，该
11113*
4.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式
n＋1n＋22n14左边( )
1
A. 增加了一项 2(k＋1)11
B. 增加了两项、
2k＋12k＋2C. 增加了B中两项但减少了一项D. 以上各种情况均不对 答案：C
1 k＋1
*n
2
B. 3 D. 6
111
解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋，
k＋1k＋22k
11111
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
k＋2k＋32k2k＋12k＋2111
∴增加了＋，减少了，故选C项．
2k＋12k＋2k＋1
n(2n＋1)
5. 用数学归纳法证明：1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加
3
2
2
2
2
2
2
( )
A. k
C. k＋(k＋1)＋k 答案：D
解析：当n＝k时，左边＝1＋2＋…＋k＋…＋2＋1；[:
当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋…＋k＋(k＋1)＋k＋…＋2＋1，故选D.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B. (k＋1) D. (k＋1)＋k
2
2
2
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